已知函數f（x）=

1

2

sin（ωx-

π

3

）-

3

sin²（

ω

2

x-

π

6

）+

3

2

，（ω＞0，x∈R）的最小正周期為4．任取t∈R，若函數f（x）在區間[t,t+1]上的最大值為M（t），最小是為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求f（x）的解析式及對稱軸方程；
（2）當t∈[-2，0]時，求函數g（t）的解析式；
（3）設函數h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中k為參數，且滿足關于t的不等式

2

k-5g（t）≤0有解．若對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，求實數k的取值范圍．