綜合也實踐
問題情境：在數學活動課上，老師讓同學們以“菱形的旋轉”為主題活動．已知四邊形ABCD與四邊形EFGH均為菱形，AB=4，∠A=∠G=60°，連接BD，點P為BC的中點，EF經過點P，且EP=FP，將菱形EFGH繞點P順時針旋轉．
問題解決：
（1）如圖①，在菱形EFGH旋轉的過程中，當點E落在BD的中點上時，EH交DC于點M，試猜想四邊形EPCM的形狀，并加以證明；
（2）如圖②，保持（1）中菱形EFGH大小不變，繼續順時針旋轉，分別連接DH，FC，求證：FC⊥DH；
（3）如圖③，若菱形EFGH的頂點E落在DC邊上，連接DH，連接FC并延長交DH于點N，當∠FCB=45°時，求CN的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）四邊和EPCM為菱形，證明過程見解答；
（2）證明過程見解答；
（3）CN的長為-．
（2）證明過程見解答；
（3）CN的長為
6
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/23 12:26:7組卷：162引用：1難度：0.1
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1．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，且∠ABC=120°，點E、F分別為AD、CD上兩個動點，且∠EBF=60°．
（1）試猜想線段BE、BF之間的關系，并證明你的結論．
（2）求出在點E、F運動的過程中△DEF周長的最小值．
（3）在點E、F運動的過程中△DEF的面積是否存在最大值，如果存在，請你求出△DEF面積的最大值，如果不存在，請說明理由．發布：2025/6/6 22:30:1組卷：349引用：2難度：0.1 -
2．如圖，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC=5，P為BC邊上一動點，PG⊥AC于點G，PH⊥AB于點H．
（1）求證：四邊形AGPH是矩形；
（2）在點P的運動過程中，GH的長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，建立平面直角坐標系，BC和x軸重合，點C和坐標原點重合，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的點D的坐標．發布：2025/6/6 22:30:1組卷：67引用：2難度：0.2 -
3．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）探究OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O運動到AC上的什么位置時，四邊形AECF是矩形，請說明理由；
（3）在（2）的基礎上，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？為什么？發布：2025/6/6 23:0:1組卷：158引用：4難度：0.3