已知△ABC，AD是一條角平分線．
【探究發現】如圖1，若AD是∠BAC的角平分線．可得到結論：ABAC=BDDC．
小紅的解法如下：
過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點A作AG⊥BC于點G，
∵AD是∠BAC的角平分線，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=EFDE=EF．
∴S△ABDS△ADc=12AB×DE12AC×DF=DEDFDEDF，
又∵S△ABDS△ADC=12BD×AG12CD×AG=BDCD，
∴ABAC=BDCDABAC=BDCD．
【類比探究】如圖2，若AD是∠BAC的外角平分線，AD與BC的延長線交于點D．求證：ABAC=BDCD．
【拓展應用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線且相交于點D，EDCD=35，直接寫出BDDC的值是 3232．
AB
AC
=
BD
DC
S
△
ABD
S
△
AD
c
=
1
2
AB
×
DE
1
2
AC
×
DF
DE
DF
DE
DF
S
△
ABD
S
△
ADC
=
1
2
BD
×
AG
1
2
CD
×
AG
=
BD
CD
AB
AC
=
BD
CD
AB
AC
=
BD
CD
AB
AC
=
BD
CD
ED
CD
=
3
5
BD
DC
3
2
3
2
【考點】相似形綜合題．
【答案】DE=EF；；；
DE
DF
AB
AC
=
BD
CD
3
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/10/3 15:0:2組卷：175引用：4難度：0.5
相似題
-
1．在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°，∠BAC=∠BED=α，點D在線段AC上．
（1）【特例證明】如圖（1），當α=30°時，ED⊥AB，證明：AE⊥AC；
（2）【類比探究】如圖（2），當α≠30°，點D是線段AC上任一點時，證明：
①△BDF∽△EAF；
②AE⊥AC；
（3）【拓展運用】如圖（3），當α=45°時，，AE=12，求BC長．AFBF=35發布：2025/5/21 11:30:1組卷：355引用：4難度：0.2 -
2．【閱讀】“關聯”是解決數學問題的重要思維方式，角平分線的有關聯想就有很多……
（1）【問題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證．PAPB=ACBC
請根據小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；小明思路：關聯“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關聯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．
（2）【理解應用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點D，則BD長度為 ；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點C恰好落在邊AB上的E點處．若AC=1，AB=2，則DE的長為 ；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長線于F，連接AF，當BD=3時，AF的長為 ．
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：366引用：1難度：0.1 -
3．【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC、BC的中點，連接DE．則△CDE與△CAB的面積比為．
【探究】將圖①的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉一定角度，使點E落在△ABC內部，連接AD、BE，并延長BE分別交AC、AD于點O、F，其它條件不變，如圖②．
（1）求證：△ACD∽△BCE．
（2）求證：AD⊥BF．
【應用】將圖②的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉，使點D恰好落在邊BC的延長線上，連接AD、BE，BE的延長線交AD于點F，其它條件不變，如圖③，若AC=4，BC=3，則BF的長為．
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：302引用：1難度：0.1