如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=2時，y的值相等，直線y=3x-7與這條拋物線交于兩點，其中一點橫坐標為4，另一點是這條拋物線的頂點M．
（1）求頂點M的坐標并求出這條拋物線對應的函數解析式．
（2）P為線段BM上一點（P不與點B，M重合），作PQ⊥x軸于點Q，連接PC，設OQ=t,四邊形PQAC的面積為S，求S與t的函數解析式，并直接寫出t的取值范圍．
（3）在線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？若存在，直接寫出點N的坐標，若不存在，說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）M的坐標為（1，-4），拋物線的解析式為：y=x2-2x-3；
（2）S=-t2+t+（1＜t＜3）；
（3）存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形，且點N的坐標為（，-）或（1+，-4）或（2，-2）．
（2）S=-t2+
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（3）存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形，且點N的坐標為（
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【解答】
【點評】
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發布：2024/8/16 9:0:1組卷：389引用：3難度：0.4
相似題
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1．已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx-3（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，與y軸交于點C，且OC=OB=3OA．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設點D是點C關于此拋物線對稱軸的對稱點，直線AD，BC交于點P，試判斷直線AD，BC是否垂直，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，若點M，N分別是射線PC，PD上的點，問：是否存在這樣的點M，N的坐標，使得以點P，M，N為頂點的三角形與△ACP全等？若存在，請求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/6/17 11:30:1組卷：129引用：1難度：0.4 -
2．如圖，直線y1=-x+3與x軸于交于點B，與y軸交于點C．拋物線y2=-x2+bx+c經過B、C兩點，并與x軸另一個交點為A．
（1）求拋物線y2的解析式；
（2）若點M在拋物線上，且S△MOC=4S△AOC，求點M的坐標；
（3）設點P是線段BC上一動點，過P作PQ⊥x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值．發布：2025/6/17 2:0:1組卷：1010引用：3難度：0.3 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（6，0），B（-2，0），C（0，-3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點H是該拋物線第四象限的任意一點，求四邊形OCHA的最大面積；
（3）若點Q在x軸上，點G為該拋物線的頂點，且∠QGA=45°，求點Q的坐標．發布：2025/6/16 23:0:1組卷：401引用：5難度：0.5