如圖1，拋物線y=12x2+bx+c（c＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸，與拋物線交于另一點D，直線BC與AD相交于點M．
（1）已知點C的坐標是（0，-4），點B的坐標是（4，0），求此拋物線的解析式；
（2）若b=12c+1，求證：AD⊥BC；
（3）如圖2，設第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G，點P是拋物線上在對稱軸右側部分的一點，點P的橫坐標為t,點Q是直線BC上一點，是否存在這樣的點P，使得△PGQ是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足∠GQP=∠OCA，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
y
=
1
2
x
2
+
bx
+
c
（
c
＜
0
）
b
=
1
2
c
+
1
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=x2-x-4；
（2）證明見解答；
（3）存在，t=或．
1
2
（2）證明見解答；
（3）存在，t=
7
13
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：181引用：1難度：0.4
相似題
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1．如圖：直線y=kx+m交y軸于點D，交x軸于點C（5，0），交拋物線y=ax2+bx+8于點A（-3，4），點E，點B（2，4）在拋物線上，連接AB，BC，BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A-B-C做勻速運動，當點Q與點C重合時停止運動，設運動的時間為t秒，△QBD的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，若∠DQB+∠BCO=90°，請直接寫出此時t的值．
發布：2025/5/25 7:0:2組卷：168引用：1難度：0.4 -
2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（ac≠0）與x軸交于點A和點B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．若線段OA、OB、OC的長滿足OC2=OA?OB，則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線．如圖，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）為“黃金”拋物線，其與x軸交點為A，B（其中B在A的右側），與y軸交于點C，且OA=4OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P為AC上方拋物線上的動點，過點P作PD⊥AC，垂足為D．
①求PD的最大值；
②連接PC，當△PCD與△ACO相似時，求點P的坐標．發布：2025/5/25 7:0:2組卷：1125引用：11難度：0.1 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及直線BC解析式；
（2）D是直線BC上方拋物線上一動點，連接AD交線段BC于點E，當的值最大時，求出此時D坐標及最大值；DEAE
（3）將直線BC繞點B順時針旋轉45°，得到BF，與拋物線交于另一點F，直接寫出F坐標及BF的長．
發布：2025/5/25 7:0:2組卷：171引用：2難度：0.1