在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，6），其中AB=8，tan∠ACO=13．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PD∥AC交x軸于點D，交BC于點E，求5PE-BE的最大值及點P的坐標．
（3）將該拋物線向下平移6個單位再向右移2個單位得到拋物線y1，平移后的拋物線與原拋物線相交于點F，點G為拋物線y1的頂點，點M為直線FG上一點，點N為平面上一點．在（2）中，當5PE-BE的值最大時，是否存在以P、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
1
3
5
5
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+6
（2）有最大值，最大值時2，點P坐標為（4，6）；
（3）存在，點N的坐標為（4+，6-）或（4-，6+）或（0，2）或（，）．
1
2
（2）
5
PE
-
BE
2
（3）存在，點N的坐標為（4+
5
5
5
5
13
2
7
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖所示，二次函數y=k（x-1）2+2的圖象與一次函數y=kx-k+2的圖象交于A、B兩點，點B在點A的右側，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點，其中k＜0．
（1）求A、B兩點的橫坐標；
（2）若△OAB是以OA為腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數k,使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．發布：2025/6/22 14:0:2組卷：5631引用：5難度：0.1 -
2．六個函數分別是①y=x；②y=-x+1；③y=x2；④y=-x2+2x-1；⑤y=x3；⑥y=-x3+1．
（1）其中一次函數是①，②，二次函數是③，④，則⑤，⑥的函數可以定義為；
（2）我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x3的圖象和性質；
①填寫下表，畫出函數的圖象；
②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；
（3）若點A（a,b）（a＞0）是函數y=x3圖象上一點，點A關于y軸的對稱點為點B，點A關于原點O的對稱點為點C，若順次連接A，B，C，則△ABC的形狀為x … -2 - 32-1 0 1 322 … y=x3 … … ；
（4）函數y=-x3+1的圖象關于點成中心對稱圖形．發布：2025/6/22 8:30:1組卷：47引用：2難度：0.3 -
3．如圖1，二次函數y=ax2-2ax-3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．
（1）求頂點D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）若以AD為直徑的圓經過點C．
①求拋物線的函數關系式；
②如圖2，點E是y軸負半軸上一點，連接BE，將△OBE繞平面內某一點旋轉180°，得到△PMN（點P、M、N分別和點O、B、E對應），并且點M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點F，若線段MF：BF=1：2，求點M、N的坐標；
③點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，如圖3，求點Q的坐標．
發布：2025/6/22 11:0:2組卷：4122引用：11難度：0.1