如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）點P是直線AC上方拋物線上任意一點，過點P分別作y軸、x軸的平行線，交直線AC于點Q，R，求QR的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）中QR取得最大值的條件下，將該拋物線向右平移個3個單位，點B平移后的對應點為D，E為新拋物線對稱軸上任意一點，在新拋物線上確定一點F，使得以點P，D，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點F的坐標．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；
（2）QR的最大值為，此時，點P的坐標為；
（3）點F的坐標為：F1（，-），F2（-，-），F3（，）．
（2）QR的最大值為
9
2
4
（
-
3
2
，
15
4
）
（3）點F的坐標為：F1（
15
2
105
4
7
2
105
4
1
2
7
4
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/11 8:0:9組卷：462引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax2+bx+c經過O，D，C三點．
（1）求AD的長及拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？
（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/25 1:0:1組卷：1574難度：0.1 -
2．兩條拋物線C1：y1=3x2-6x-1與C2：y2=x2-mx+n的頂點相同．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）點A是拋物線C2在第四象限內圖象上的一動點，過點A作AP⊥x軸，P為垂足，求AP+OP的最大值；
（3）設拋物線C2的頂點為點C，點B的坐標為（-1，-4），問在C2的對稱軸上是否存在點Q，使線段QB繞點Q順時針旋轉90°得到線段QB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/25 1:0:1組卷：2554引用：5難度：0.4 -
3．綜合與探究
如圖，拋物線y=-x2+38x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為l與x軸交于點D．34
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）若點M是直線l上的動點，當△ACM是以AC為直角邊的直角三角形時，求點M的坐標．
（3）若點P是y軸左側拋物線上的動點，設其橫坐標為m.試探究：是否存在這樣的點P，使得∠BCO=2∠ABP．如存在，請直接寫出m的值，如不存在，請說明理由．發布：2025/5/25 1:0:1組卷：207引用：1難度：0.3