如圖，在平面直角坐標系中，知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），且點A的坐標為（3，0），連接BC，過點A作AD∥BC交y軸于點D，OB=3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點E為射線AD上一點，點P為第二象限內拋物線上一動點，求四邊形PBEC面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿x軸正方向平移得到新拋物線y'，y'經過點C，平移后點A的對應點為點A'，點N為線段AD的中點，點Q為新拋物線y'的對稱軸上一點，在新拋物線上存在一點M，使以點M、Q、A'、N為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點M的坐標，并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程．
（
3
，
0
）
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2-x+3；（2）四邊形PBEC面積的最大值為時，點P的坐標為（-，）；（3）點M的坐標為（，）或（-，-）或（，）．
1
3
2
3
3
75
3
8
3
3
2
15
4
5
3
2
7
4
3
3
2
7
4
7
3
2
39
4
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：367引用：2難度：0.2
相似題
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1．綜合與探究．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，過點C作AB的平行線，交拋物線于點D，P為拋物線上一動點，過點P作直線CD的垂線，垂足為E，與x軸交于點F，設點P的橫坐標為m.
（1）求拋物線的函數表達式及點D的坐標；
（2）當m＜-1，且時，探究四邊形ABDE能否成為平行四邊形，并說明理由；EFPF=23
（3）當m＞0時，連接AC，PC，拋物線上是否存在點P，使∠PCE與∠BAC互余？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．發布：2025/5/25 3:30:2組卷：134引用：1難度：0.2 -
2．如圖，一次函數y=-x-4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A、C，與x軸另一交點為B，其對稱軸交x軸于D．12
（1）求二次函數的表達式．
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使得∠ANB=45°．若存在，求出N點坐標，若不存在，請說明理由．發布：2025/5/25 3:30:2組卷：410引用：2難度：0.1 -
3．在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+1（a≠0）經過點A（2，1），頂點為點B．
（1）用含a的代數式表示b；
（2）若a＞0，設拋物線y=ax2+bx+1（a≠0）的對稱軸為直線l,過A作AM⊥l于點M，且MB=2AM，當m-2≤x≤m時，拋物線的最高點的縱坐標為17，求m的值；
（3）若點C的坐標為（-5，-1），將點C向右平移9個單位長度得到點D，當拋物線y=ax2+bx+1（a≠0）與線段CD有兩個交點時，直接寫出a的取值范圍．發布：2025/5/25 3:30:2組卷：176引用：2難度：0.2