一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得150分，出現兩次音樂獲得100分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得-300分．設每次擊鼓出現音樂的概率為p（0＜p＜25），且各次擊鼓出現音樂相互獨立．
（1）若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0；
（2）以（1）中確定的p0作為p的值，玩3盤游戲，出現音樂的盤數為隨機變量X，求每盤游戲出現音樂的概率p1，及隨機變量X的期望EX；
（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了．請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因．
p
（
0
＜
p
＜
2
5
）
【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）．
【答案】（1）；
（2），；
（3）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量ξ，則ξ的可能值為-300，50，100，150，
∴P（ξ=-300）=（1-p）3，；；P（ξ=150）=p3，
∴=，
令，則，
所以g（p）在單調遞增；∴g（p）＜g（）=-＜0，
即有EX＜0，
這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統計的相關知識可知：
經過若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而會減少．
1
3
（2）
19
27
19
9
（3）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量ξ，則ξ的可能值為-300，50，100，150，
∴P（ξ=-300）=（1-p）3，
P
（
ξ
=
50
）
=
C
1
3
p
（
1
-
p
）
2
P
（
ξ
=
100
）
=
C
2
3
p
2
（
1
-
p
）
∴
EX
=
-
300
（
1
-
p
）
3
+
50
C
1
3
p
（
1
-
p
）
2
+
100
C
2
3
p
2
（
1
-
p
）
+
150
p
3
300
（
p
3
-
3
p
2
+
7
2
p
-
1
）
令
g
（
p
）
=
p
3
-
3
p
2
+
7
2
p
-
1
g
′
（
p
）
=
3
p
2
-
6
p
+
7
2
=
3
（
p
-
1
）
2
+
1
2
＞
0
所以g（p）在
（
0
，
2
5
）
2
5
2
125
即有EX＜0，
這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統計的相關知識可知：
經過若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而會減少．
【解答】
【點評】
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發布：2024/10/15 1:0:2組卷：472引用：7難度：0.5
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