拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點M（4，yM）到其準線的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）過點P（2，0）作直線l交拋物線C于A，B兩點，Q是y軸上一點，且Q，A，B三點不共線），直線AQ與直線x=-2交于點N，判斷直線PQ與BN的位置關系，并說明理由．
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】（Ⅰ）y2=4x．
（Ⅱ）平行，
設直線l的方程為x=my+2，
聯立方程，
消元得，y2-4my-8=0，Δ=16m2+32＞0恒成立．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由韋達定理可得，y1+y2=4m，y1y2=-8；
設Q（0，t），，直線AQ的方程為，
令x=-2，解得，
∴．kBN======，
又，顯然PQ與AN不在同一條直線上，
故直線PQ與AN平行．
（Ⅱ）平行，
設直線l的方程為x=my+2，
聯立方程，
y 2 = 4 x |
x = my + 2 . |
消元得，y2-4my-8=0，Δ=16m2+32＞0恒成立．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由韋達定理可得，y1+y2=4m，y1y2=-8；
設Q（0，t），
k
AQ
=
y
1
-
t
x
1
y
=
y
1
-
t
x
1
x
+
t
令x=-2，解得
y
=
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
∴
N
（
-
2
，
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
）
y
2
-
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
x
2
+
2
x
1
y
2
-
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
x
2
+
2
x
1
（
m
y
1
+
2
）
y
2
-
（
2
+
x
1
）
t
+
2
y
1
x
1
x
2
+
2
x
1
m
y
1
y
2
+
2
（
y
1
+
y
2
）
-
（
2
+
x
1
）
t
y
2
1
y
2
2
16
+
2
x
2
-
8
m
+
8
m
-
（
2
+
x
1
）
t
4
+
2
x
1
-
t
2
又
k
PQ
=
-
t
2
故直線PQ與AN平行．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：134引用：2難度：0.4