如圖1-1，拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，設運動時間為t秒．連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．
（1）求二次函數的解析式；
（2）當點P在線段AO上運動時，請用含t的式子表示線段OE的長度，并求出OE長度的最大值；
（3）如圖1-2，在點P開始運動的同時，動點Q從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿CB勻速運動，當點Q到達終點B時，點P停止運動，連接DQ．
①將△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，當點C恰好落在拋物線的對稱軸上時，求出此時的t值；
②如圖1-3，連接DE，在P，Q運動過程中，是否存在使△DPE與△DCQ相似的t值，若存在，請直接寫出t值，若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；
（2）OE=-t2+t，線段OE的長有最大值；
（3）①存在t=；
②t=1或3或．
（2）OE=-t2+
3
2
9
16
（3）①存在t=
4
3
3
②t=1或3或
3
+
137
4
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/3 8:0:1組卷：117引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經過點B，D（-4，5）兩點，且與直線DC交于另一點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）F為拋物線對稱軸與x軸的交點，M為線段DE上一點，N為平面直角坐標系中的一點，若存在以點D、F、M、N為頂點的四邊形是菱形．請直接寫出點N的坐標，不需要寫過程；
（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接OB、BP，探究EQ+PQ+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點Q的坐標，若不存在，請說明理由．發布：2025/5/30 14:30:1組卷：323引用：4難度：0.4 -
2．已知A（-3，-2），B（1，-2），拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側），下列結論：
①c≥-2；
②當x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；
③若點D橫坐標的最小值為-5，則點C橫坐標的最大值為3；
④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a=．12
其中正確的是（ ）發布：2025/5/30 14:0:1組卷：2275引用：15難度：0.5 -
3．如圖1，已知拋物線y=ax2-
x+c與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C（0，-1），點P是拋物線上位于對稱軸l右側一動點．23
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P的橫坐標為6時，求四邊形ACBP的面積；
（3）如圖2，對稱軸l分別與x軸交于點D，與直線AC交于點N，過點P作PM⊥l于點M，連接BM，BN．在拋物線上是否存在點P，使△BMN為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/30 13:30:1組卷：69引用：1難度：0.3