如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A，B兩點，OA=1，與y軸交于點C，連接AC，tan∠OAC=3，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求點A，C的坐標；
（2）若點P在拋物線上，且滿足∠PAB=2∠ACO，求直線PA在與y軸交點的坐標；
（3）點Q在拋物線上，且在x軸下方，直線AQ，BQ分別交拋物線的對稱軸于點M、N．求證：DM+DN為定值，并求出這個定值．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）點A、C的坐標分別為（1，0）、（0，-3）；
（2）直線PA在與y軸交點的坐標為（0，-）或（0，）；
（3）證明見解答，DM+DN=8．
（2）直線PA在與y軸交點的坐標為（0，-
3
4
3
4
（3）證明見解答，DM+DN=8．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1069難度：0.3
相似題
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1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，2），點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m,0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l交直線BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；
（3）點P在線段AB上運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/26 8:0:5組卷：587引用：5難度：0.3 -
2．規定：如果兩個函數圖象上至少存在一組點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數互為“O—函數”．這組點稱為“XC點”．例如：點P（1，1）在函數y=x2上，點Q（-1，-1）在函數y=-x-2上，點P與點Q關于原點對稱，此時函數y=x2和y=-x-2互為“O—函數”，點P與點Q則為一組“XC點”．
（1）已知函數y=-2x-1和y=-互為“O—函數”，請求出它們的“XC點”；6x
（2）已知函數y=x2+2x+4和y=4x+n-2022互為“O—函數”，求n的最大值并寫出“XC點”；
（3）已知二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）與y=2bx+1互為“O—函數”有且僅存在一組“XC點”，如圖，若二次函數的頂點為M，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB=，過頂點M作x軸的平行線l,點P在直線l上，記P的橫坐標為-c2-2c+6c，連接OP，AP，BP．若∠OPA=∠OBP，求t的最小值．t發布：2025/5/26 7:30:2組卷：1091引用：4難度：0.3 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-2，5），與x軸相交于B（-1，0），C（3，0）兩點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D，若點C'恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C'和點D的坐標；
（3）設P是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數表達式．發布：2025/5/26 7:30:2組卷：6166難度：0.2