已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為22，且過點（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P（2，0）且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若B點關于x軸的對稱點為E，證明：直線AE與x軸相交于定點．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
2
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（I）+y2=1．
（II）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-2），
聯立方程組
，消去y得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得k2＜．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則E（x2，-y2），
∴x1+x2=，x1x2=，
∴直線AE的斜率為kAE=，
直線AE的方程為y-y1=（x-x1），
令y=0可得x=+x1=，
∵y1x2+y2x1=k（x1-2）x2+k（x2-2）x1=2kx1x2-2k（x1+x2）=2k（x1x2-x1-x2）=，
y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2）-4k=，
∴=1，
∴直線AE經過定點（1，0）．
x
2
2
（II）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-2），
聯立方程組
y = k （ x - 2 ） |
x 2 2 + y 2 = 1 |
Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得k2＜
1
2
設A（x1，y1），B（x2，y2），則E（x2，-y2），
∴x1+x2=
8
k
2
1
+
2
k
2
8
k
2
-
2
1
+
2
k
2
∴直線AE的斜率為kAE=
y
1
+
y
2
x
1
-
x
2
直線AE的方程為y-y1=
y
1
+
y
2
x
1
-
x
2
令y=0可得x=
-
y
1
（
x
1
-
x
2
）
y
1
+
y
2
y
1
x
2
+
y
2
x
1
y
1
+
y
2
∵y1x2+y2x1=k（x1-2）x2+k（x2-2）x1=2kx1x2-2k（x1+x2）=2k（x1x2-x1-x2）=
-
4
k
1
+
2
k
2
y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2）-4k=
-
4
k
1
+
2
k
2
∴
y
1
x
2
+
y
2
x
1
y
1
+
y
2
∴直線AE經過定點（1，0）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：157引用：4難度：0.3
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