已知圓O：x2+y2=4與x軸交于點A（-2，0），過圓上一動點M作x軸的垂線，垂足為H，設MH的中點為N，記N的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過（-65，0）作與x軸不重合的直線l交曲線C于P，Q兩點，直線OQ與曲線C的另一交點為S，設直線AP，AS的斜率分別為k1，k2.證明：k1=4k2．
（
-
6
5
，
0
）
【考點】軌跡方程．
【答案】（1）；
（2）證明：①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：，
若點P在軸上方，則點Q在x軸下方，則，
直線OQ與曲線C的另一交點為S，則S與Q關于原點對稱，
∴，
∴，
∴k1=4k2；
若點P在x軸下方，則點Q在x軸上方，
同理得：，
∴，
∴k1=4k2；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：，
由與聯(lián)立，得：，
其中，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則S（-x2，-y2），
則，
∴，
則
=，
∴k1=4k2．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）證明：①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：
x
=
-
6
5
若點P在軸上方，則點Q在x軸下方，則
P
（
-
6
5
，
4
5
）
，
Q
（
-
6
5
，-
4
5
）
直線OQ與曲線C的另一交點為S，則S與Q關于原點對稱，
∴
S
（
6
5
，
4
5
）
∴
k
1
=
k
AP
=
4
5
-
0
-
6
5
+
2
=
1
，
k
2
=
k
AS
=
4
5
-
0
6
5
+
2
=
1
4
∴k1=4k2；
若點P在x軸下方，則點Q在x軸上方，
同理得：
P
（
-
6
5
，-
4
5
）
，
Q
（
-
6
5
，
4
5
）
，
S
（
6
5
，-
4
5
）
∴
k
1
=
k
AP
=
-
4
5
-
0
6
5
+
2
=
-
1
，
k
2
=
k
AS
=
-
4
5
-
0
6
5
+
2
=
-
1
4
∴k1=4k2；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：
x
=
my
-
6
5
由
x
=
my
-
6
5
x
2
4
+
y
2
=
1
（
m
2
+
4
）
y
2
-
12
m
5
y
-
64
25
=
0
其中
Δ
=
144
m
2
25
+
4
×
（
m
2
+
4
）
×
64
25
＞
0
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則S（-x2，-y2），
則
y
1
+
y
2
=
12
m
5
m
2
+
4
，
y
1
y
2
=
-
64
25
m
2
+
4
∴
k
1
=
k
AP
=
y
1
-
0
x
1
+
2
=
y
1
x
1
+
2
，
k
2
=
k
AS
=
-
y
2
-
0
-
x
2
+
2
=
y
2
x
2
-
2
則
k
1
k
2
=
y
1
x
1
+
2
?
x
2
-
2
y
2
=
y
1
（
m
y
2
-
16
5
）
（
m
y
1
+
4
5
）
y
2
=
m
y
1
y
2
-
16
5
y
1
m
y
1
y
2
+
4
5
（
y
1
+
y
2
）
-
4
5
y
1
=
-
64
25
m
m
2
+
4
-
16
5
y
1
-
64
25
m
m
2
+
4
+
4
5
?
12
5
m
m
2
+
4
-
4
5
y
1
=
-
64
25
m
m
2
+
4
-
16
5
y
1
-
16
25
m
m
2
+
4
-
4
5
y
1
=
4
∴k1=4k2．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：203引用：3難度：0.4
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