在平面直角坐標系xoy中，已知圓C的圓心在x軸正半軸上，半徑為2，且與直線x-3y+2=0相切
（1）求圓C的方程
（2）在圓C上，是否存在點M（m,n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB面積；若不存在，請說明理由．
3
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】（1）（x-2）2+y2=4．
（2）存在，理由：假設存在點M（m，n）在圓C上滿足題設，
則有（m-2）2+n2=4．
n2=4-（m-2）2=4m-m2，且0≤m≤4，
又∵原點到直線l：mx+ny=1的距離d==＜1，
解得，
∵|AB|=2，
∴S△OAB==
==，
∵，∴當時，S△OAB有最大值，最大面積為，
此時n=．
∴存在點M（，），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積取最大值．
（2）存在，理由：假設存在點M（m，n）在圓C上滿足題設，
則有（m-2）2+n2=4．
n2=4-（m-2）2=4m-m2，且0≤m≤4，
又∵原點到直線l：mx+ny=1的距離d=
1
m
2
+
n
2
1
4
m
解得
1
4
＜
m
≤
4
∵|AB|=2
1
-
d
2
∴S△OAB=
1
2
×
|
AB
|
×
d
d
2
-
d
4
=
1
4
m
-
（
1
4
m
）
2
-
（
1
4
m
-
1
2
）
2
+
1
4
∵
1
16
≤
1
4
m
＜
1
1
4
m
=
1
2
1
2
此時n=
±
7
2
∴存在點M（
1
2
±
7
2
1
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/7 8:0:9組卷：296引用：4難度：0.3