已知點(diǎn)A（0，2），B（0，

1

2

），點(diǎn)P為曲線Γ上任意一點(diǎn)且滿足|PA|=2|PB|．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）設(shè)曲線Γ與y軸交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是曲線Γ上異于M、N的任意一點(diǎn)，直線MR、NR分別交直線l：y=3于點(diǎn)F、G．求證：以FG為直徑的圓C與y軸交于定點(diǎn)S，并求出點(diǎn)S的坐標(biāo)．

【考點(diǎn)】曲線與方程．

【答案】（1）x²+y²=1．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，由x²+y²=1得y=±1，即M（0，1），N（0，-1），
設(shè)點(diǎn)R（x₀，y₀），（x₀≠0），∵點(diǎn)R在曲線Γ上，∴+=1，
直線RM的方程y-1=x，
∴直線RM與直線y=3的交點(diǎn)為F（，3），
直線RN的方程為y+1=x，
∴直線RN與直線y=3的交點(diǎn)為G（，3），
假設(shè)存在點(diǎn)S（0，m），使得以FG為直徑的圓C與y軸交于定點(diǎn)S，
即?=0成立，
則=（，3-m），=（，3-m），
則?=（，3-m）?（，3-m）=0，
即?+（3-m）²=0
即+（3-m）²=0，
∵+=1，
∴-1=-，
即-8+（3-m）²=0得（m-3）²=8，
得m-3==±2，
解得m=3±2，
∴S點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3±2）．