已知雙曲線C={（x,y）|ax²-by²=1（a＞0，b＞0）}和集合Q={（x,y）|0＜ax²-by²＜1（a＞0，b＞0）}，直角坐標平面內任意點N（x₀，y₀），直線l：ax₀x-by₀y=1稱為點N關于雙曲線C的“相關直線”．
（I）若N∈C，判斷直線l與雙曲線C的位置關系，并說明理由；
（II）若直線l與雙曲線C的一支有2個交點，求證：N∈Q；
（Ⅲ）若點N∈Q，點M在直線l上，直線MN交雙曲線C于A，B，求證：
|
MA
|
|
AN
|
=
|
MB
|
|
BN
|
．

【答案】（Ⅰ）直線l與雙曲線C相切，理由見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析．

【解答】

【點評】

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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：88引用：2難度：0.5

相似題

1．點P在以F₁，F₂為焦點的雙曲線
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O為坐標原點．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P₁，P₂兩點，且
O
P
1
?
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求雙曲線E的方程；
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7
解析
2．已知兩個定點坐標分別是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
5
．
（1）求曲線C的方程；
（2）過F₁（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：101難度：0.9
解析
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y²=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（　?。l．
A．1 B．2 C．3 D．4
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7
解析

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