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已知函數
f
（
x
）
=
（
1
x
-
1
2
x
2
）
（
x
-
a
）
-
lnx
-
1
2
x
+
b
，其中a,b∈R．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）存在三個零點x₁、x₂、x₃（其中x₁＜x₂＜x₃），證明：
（i）若a＞1，函數
g
（
x
）
=
lnx
+
1
2
x
，使得
0
＜
b
-
g
（
a
）
＜
a
-
1
2
a
；
（ii）若0＜a＜1，則
（
1
x
1
+
1
x
3
）
（
1
x
1
+
1
x
3
-
2
-
2
a
）
＜
11
a
2
+
38
a
+
11
3
a
（
a
2
+
8
a
+
1
）
．

【答案】（1）當a＞1時，x∈（0，1），f（x）單調遞減，x∈（1，a），f（x）單調遞增，x∈（a，+∞），f（x）單調遞減；
當a=1時，x∈（0，+∞），f（x）單調遞減；
當0＜a＜1時，x∈（0，a），f（x）單調遞減，x∈（a，1），f（x）單調遞增，x∈（1，+∞），f（x）單調遞減；
當a≤0時，x∈（0，1），f（x）單調遞減，x∈（1，+∞），f（x）單調遞增．
（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析．

【解答】

【點評】

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發布：2024/4/23 12:26:7組卷：42引用：2難度：0.2

相似題

1．已知函數
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若關于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
對任意x∈（0，2）恒成立，則實數k的取值范圍（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
發布：2025/1/5 18:30:5組卷：299引用：2難度：0.4
解析
2．已知函數f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有三個極值點x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范圍；
②求證：x₁+x₂+x₃＞-2．
發布：2024/12/29 13:0:1組卷：196引用：2難度：0.1
解析
3．已知函數f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的圖象在x=-1處的切線斜率為-1，且x=-2時，y=f（x）有極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
發布：2024/12/29 12:30:1組卷：48引用：4難度：0.5
解析

相關試卷

2023年湖北省咸寧市高考數學調研試卷（5月份）

1．已知函數f（x）=ln2+x2-x+1，若關于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2對任意x∈（0，2）恒成立，則實數k的取值范圍（ ）

2．已知函數f（x）=ex-ax21+x．（1）若a=0，討論f（x）的單調性．（2）若f（x）有三個極值點x1，x2，x3．①求a的取值范圍；②求證：x1+x2+x3＞-2．

3．已知函數f（x）=ax3+x2+bx（a,b∈R）的圖象在x=-1處的切線斜率為-1，且x=-2時，y=f（x）有極值．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

1．已知函數
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若關于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
對任意x∈（0，2）恒成立，則實數k的取值范圍（　　）

2．已知函數f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有三個極值點x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范圍；
②求證：x₁+x₂+x₃＞-2．

3．已知函數f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的圖象在x=-1處的切線斜率為-1，且x=-2時，y=f（x）有極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．