問題提出:如圖1,在矩形ABCD中,點E為AD邊中點,點F為BC邊中點;點G,H為AB邊上與A點最近的兩個n等分點,I,J分別為距離點C、D最近的n等分點.現在分別連接DG、HJ、BI,AF、CE,其中線段AF、線段CE分別與線段DG、HJ、BI相交于點K、L,M,P、O、N,則四邊形KPOL的面積與四邊形ABCD的面積之間存在什么樣的關系?

探究一
如圖2,點E為AD邊中點,點F為BC邊中點,若點G、H、J、I分別是AB、CD邊上的三等分點,如圖2所示連接各點的線段所圍成的四邊形KPOL的面積與四邊形ABCD的面積的關系是?
在圖2中,我們對四邊形KPOL面積的探究如下,請你將解題思路填寫完整:
設SDEP=a,SAKG=b,
∵EC∥AF
∴易證△DEP∽△DAK,且相似比為1:2,得到S△DAK=4a
∵GD∥BI
∴易證△AGK∽△ABM,且相似比為1:3,得到S△ABM=9b
連接GJ、HI,
又∵矩形ADJG≌GJIH≌HICB
連接GJ,HI,∴S△DAG=4a+b=16SABCD
連接EF,同理可得S△ABF=9b+a=14SABCD
SABCD=24a+6b=36b+4a
a=3232b,SABCD=4242b.
易證平行四邊形KPOL≌平行四邊形LONM,△ADK≌△CBN,△AMB≌△CPD
∴SABCD=2S△ADK+2S△AMB+2SKPOL
∴S△KPOL=66b
∴SKPOL=1717SABCD
探究二
點E為AD邊中點,點F為BC邊中點;若點G、H、J、I分別是AB、CD邊上的四等分點,設S△DEP=a,S△AKG=b;則a=22b,SKPOL=1919SABCD
問題解決:如圖4,點E為AD邊中點,點F為BC邊中點:點G、H為AB邊上與A點最近的兩個n等分點,I,J分別為距離點C、D最近的n等分點,現在分別連接DG、HJ、BI,AF、CE,其中線段AF、線段CE分別與線段DG、HJ、BI相交于點K、L、M,P、O、N,設S△DEP=a,S△AKG=b,則SKPOL=12n+112n+1SABCD.
思維拓展:如圖5,點E為AD邊中點,點F為BC邊中點;若點G、H分別是AB邊上離A、B最近的n等分點,點I、J分別是CD邊上離點C、D最近的n等分點,若按照圖5的方式連接矩形ABCD對邊上的點.則SANML=12n-112n-1SABCD.
1
6
S
ABCD
1
4
S
ABCD
3
2
3
2
1
7
1
7
1
9
1
9
1
2
n
+
1
1
2
n
+
1
1
2
n
-
1
1
2
n
-
1
【考點】相似形綜合題.
【答案】;42;6;;2;;;
3
2
1
7
1
9
1
2
n
+
1
1
2
n
-
1
【解答】
【點評】
聲明:本試題解析著作權屬菁優網所有,未經書面同意,不得復制發布。
發布:2024/6/27 10:35:59組卷:350引用:2難度:0.1
相似題
-
1.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.AB=BC.點D是線段AB上的一點,連接CD.過點B作BG⊥CD,分別交CD、CA于點E、F,與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連接DF,給出以下四個結論:①
=AGAB;②若點D是AB的中點,則AF=AFFCAB;③當B、C、F、D四點在同一個圓上時,DF=DB;④若23=DBAD,則S△ABC=9S△BDF,其中正確的結論序號是( )12A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 發布:2025/6/24 16:30:1組卷:2783引用:11難度:0.2 -
2.如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,點P為AB邊上一動點,DP交AC于點Q.
(1)求證:△APQ∽△CDQ;
(2)P點從A點出發沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動,移動時間為t秒.
①當t為何值時,DP⊥AC?
②設S△APQ+S△DCQ=y,寫出y與t之間的函數解析式,并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時,y取得最小值.發布:2025/7/1 13:0:6組卷:2099引用:6難度:0.1 -
3.【探究發現】如圖1,△ABC是等邊三角形,∠AEF=60°,EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F,當點E是BC的中點時,有AE=EF成立;
【數學思考】某數學興趣小組在探究AE、EF的關系時,運用“從特殊到一般”的數學思想,通過驗證得出如下結論:
當點E是直線BC上(B,C除外)任意一點時(其它條件不變),結論AE=EF仍然成立.
假如你是該興趣小組中的一員,請你從“點E是線段BC上的任意一點”;“點E是線段BC延長線上的任意一點”;“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中,任選一種情況,在備用圖1中畫出圖形,并證明AE=EF.
【拓展應用】當點E在線段BC的延長線上時,若CE=BC,在備用圖2中畫出圖形,并運用上述結論求出S△ABC:S△AEF的值.發布:2025/6/24 15:30:2組卷:1873引用:6難度:0.1