如圖，△ABC為等邊三角形，點D為AC邊上一動點，連接BD，將線段BD繞點B逆時針旋轉角α得線段BE，連接CE、DE，其中CE與AB交于點F．
（1）如圖1，若D為AC中點，α=90°，BC=4，求BF的長；
（2）如圖2，若∠ABE=∠ADB，猜想線段AD，BF的數量關系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將△BDE沿BD翻折得△BDE'，M為AB的中點，連接ME′，當ME′最小時，在△BCD內找一點P，使3PB+2PD+7PC的值最小，若BC=4，直接寫出3PB+2PD+7PC的最小值．
3
PB
+
2
PD
+
7
PC
3
PB
+
2
PD
+
7
PC
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）AD=2BF，證明見解析；
（3）2．
（2）AD=2BF，證明見解析；
（3）2
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【解答】
【點評】
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發布：2024/4/23 12:26:7組卷：444引用：2難度：0.2
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1．如圖1，將兩個等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點
，點A（0，2+1），點C（0，1），點D（1，0）．B（2+1，0）
（1）求證：AC=BD；
（2）如圖2，現將△OCD繞點O順時針方向旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜180°），連接AC，BD，這一過程中AC和BD是否仍然保持相等？說明理由；當旋轉角α的度數為時，AC所在直線能夠垂直平分BD；
（3）在（2）的情況下，將旋轉角α的范圍擴大為0°＜α＜360°，那么在旋轉過程中，求△BAD的面積的最大值，并寫出此時旋轉角α的度數．（直接寫出結果即可）．發布：2025/6/3 13:30:1組卷：325引用：3難度：0.2 -
2．如圖，已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，AC=BC，DE=AE，將這兩個三角形放置在一起．
（1）問題發現
如圖①，當∠ACB=∠AED=60°時，點B、D、E在同一直線上，連接CE，則∠CEB的度數為，線段AE、BE、CE之間的數量關系是；
（2）拓展探究
如圖②，當∠ACB=∠AED=90°時，點B、D、E在同一直線上，連接CE．請判斷∠CEB的度數及線段AE、BE、CE之間的數量關系，并說明理由；
（3）解決問題
如圖③，∠ACB=∠AED=90°，AC=2，AE=2，連接CE、BD，在△AED繞點A旋轉的過程中，當DE⊥BD時，請直接寫出EC的長．5
發布：2025/6/3 14:0:2組卷：1034引用：4難度：0.2 -
3．如圖，在等邊三角形ABC右側作射線CP，∠ACP=α（0＜α＜60°），點A關于射線CP的對稱點為點D，BD交CP于點E，連接AD，AE．
（1）求∠DBC的大小（用含α的代數式表示）；
（2）在α（0°＜α＜60°）的變化過程中，∠AEB的大小是否發生變化？如果發生變化，請直接寫出變化的范圍；如果不發生變化，請直接寫出∠AEB的大小；
（3）用等式表示線段AE，BD，CE之間的數量關系，并證明．
發布：2025/6/3 16:0:1組卷：781引用：7難度：0.2
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