如圖△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC=2∠DAC，若AC=4，AB=x,CD長為y,則y與x的函數關系式為
y=8xy=8x．
二倍角問題是同學們在幾何圖形中比較困難的問題之一，二倍角問題的解題策略很多，其中之一便是構造等腰三角形，利用等腰三角形的相關性質來解決問題，小明和小強通過對本題二倍角問題的研究，提出以下想法：①小明：由∠ABC=2∠DAC，想到構造等腰三角形，把△ACD以AD為軸翻折，到△ADE，可設∠DAC為α，則∠ABC為2α，通過導角計算，可以得到一個等腰三角形；
②小強：在圖中，可利用勾股定理或者相似三角形來進行計算，導出y和x的數量關系．
（1）問題：請按照上面兩名同學的思路，證明：
①BA=BE；
②寫出y和x的數量關系式．
（2）問題拓展：
矩形ABCD中，E為AB邊上一點，連接CE，在CE上取一點F，∠CAF=∠BCE，∠BEC=2∠DAC，若AECF=mn，求AEEB的值．
8
x
8
x
AE
CF
=
m
n
AE
EB
【考點】相似形綜合題．
【答案】y=
8
x
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/26 11:36:51組卷：171引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）如圖1，連結BE、CD，BE的延長線交AC于點F，交CD于點P，求證：
①△ABE≌△ACD；
②BP⊥CD；
（2）如圖2，把△ADE繞點A順時針旋轉，當點D落在AB上時，連結BE、CD，CD的延長線交BE于點P，若，BC=63，AD=3
①求證：△BDP∽△CDA；
②求△PDE的面積．
發布：2025/5/25 12:0:2組卷：294引用：3難度：0.3 -
2．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．
（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）當DE⊥BC時，
①求CM的長；
②直接寫出重疊部分的面積；
（3）在△DEF運動過程中，當重疊部分構成等腰三角形時，求BE的長．發布：2025/5/25 10:30:1組卷：659引用：3難度：0.2 -
3．如圖，在菱形ABCD中，點P為對角線AC上的動點，連結DP，將DP繞點D按逆時針方向旋轉至DQ，使∠QDP=∠CDA，PQ與CD交于點E．
（1）求證：△PEC∽△DPA；
（2）已知AD=5，AC=8，
①當DP⊥AD時，求△PEC的面積；
②連結CQ，當△EQC為直角三角形時，求AP的長．發布：2025/5/25 11:30:2組卷：196引用：1難度：0.3