小李同學在認真閱讀了書本第54頁活動2的內容后，按書本的描述，進行了如下探索：
第一步：先在平面直角坐標系中找點A（0，2），再在x軸上任意找點M（x,0）；
第二步：過點M作x軸的垂線交線段AM的垂直平分線于點P，連接PA，設點P的坐標是（x,y）．
?
（1）如圖1，小李同學先用含y的代數式表示了PM2=y2y2；過點A作AG⊥PM于點G，在Rt△AGP中，用含x和y的式子可求得AP2=x2+（y-2）2x2+（y-2）2；由垂直平分線性質可知：AP=PM，即AP2=PM2，由此可推出點P的縱坐標y與橫坐標x滿足的函數關系式為：y=14x2+1y=14x2+1；
（2）當（1）中所求得的函數自變量x滿足m≤x≤m+3時，函數y有最小值為2，求m的值；
（3）如圖2，直線y=x+1與（1）中所得拋物線交于點B、C，點D為線段BC的中點，點E（0，3），點F為拋物線上的一動點，當PA+PD最小時，是否存在點F使∠EPF=∠BDP，若存在，請直接寫出滿足條件的所有點F的坐標；若不存在，請說明理由．
y
=
1
4
x
2
+
1
y
=
1
4
x
2
+
1
【考點】二次函數綜合題．
【答案】y2；x2+（y-2）2；
y
=
1
4
x
2
+
1
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/16 19:0:8組卷：84引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖1，直線y=-x+5與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點坐標為A（-1，0）．
（1）求B、C兩點的坐標及該拋物線所對應的函數關系式；
（2）P在線段BC上的一個動點（與B、C不重合），過點P作直線a∥y軸，交拋物線于點E，交x軸于點F，設點P的橫坐標為m.
①若點P的橫坐標為m,請用m表示線段PE的長度并寫出m的取值范圍；
②有人認為：當直線a與拋物線的對稱軸重合時，線段PE的值最大，你同意他的觀點嗎？請說明理由；
③過點P作直線b∥x軸（圖2），交AC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR與△BOC相似？若存在，請求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/24 9:0:1組卷：155引用：3難度：0.3 -
2．拋物線y=ax2+bx+3經過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸正半軸交于點C．
（1）求此拋物線解析式；
（2）如圖①，連接BC，點P為拋物線第一象限上一點，設點P的橫坐標為m,△PBC的面積為S，求S與m的函數關系式，并求S最大時P點坐標；
（3）如圖②，連接AC，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/24 8:0:1組卷：301引用：3難度：0.1 -
3．在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=a（x-1）2+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若S△EAP=3S△EMN，求點P的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是否存在這樣一條直線，使得△FMN的內心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/24 9:0:1組卷：767引用：5難度：0.3