已知△ABC的三個頂點都在橢圓Γ：
x
2
4
+
y
2
3
=1上．
（1）設它的三條邊AB，BC，AC的中點分別為D，E，M，且三條邊所在線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k₁，k₂，k₃均不為0．點O為坐標原點，若直線OD，OE，OM的斜率之和為1．求證：
1
k
1
+
1
k
2
+
1
k
3
為定值；
（2）當O是△ABC的重心時，求證：△ABC的面積是定值；
（3）如圖，設△ABC的邊AB所在直線與x軸垂直，垂足為橢圓右焦點F，過點F分別作直線l₁、l₂與橢圓交于C、D、E、G（不同于A、B兩點），連結CG、DE與AB分別交于M、N，求證：|FM|=|FN|．

【答案】（1）證明詳情見解答．
（2）證明詳情見解答．
（3）證明詳情見解答．

【解答】

【點評】

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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：58引用：1難度：0.6

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1．已知兩個定點坐標分別是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
5
．
（1）求曲線C的方程；
（2）過F₁（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9
解析
2．點P在以F₁，F₂為焦點的雙曲線
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O為坐標原點．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P₁，P₂兩點，且
O
P
1
?
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求雙曲線E的方程；
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7
解析
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y²=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（　?。l．
A．1 B．2 C．3 D．4
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7
解析

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