數(shù)學(xué)活動課上，老師提出這樣一個問題：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，連接PB，那么PA、PB、PC之間會有怎樣的等量關(guān)系呢？經(jīng)過思考后，部分同學(xué)進行了如下的交流：
小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點P在BA延長線上（如圖1），得到了一個猜想：PA2+PC2=PB2．
小東：我假設(shè)點P在∠ABC的內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個圖形具有“共端點等線段”的特點，可以利用旋轉(zhuǎn)解決問題，旋轉(zhuǎn)△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分別是等邊三角形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法．
這時老師對同學(xué)們說，請大家完成以下問題：
（1）如圖2，點P在∠ABC的內(nèi)部，
①PA=4，PC=23，PB=2727．
②用等式表示PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）對于點P的其他位置，是否始終具有②中的結(jié)論？若是，請證明；若不是，請舉例說明．
2
3
7
7
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】2
7
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：725引用：3難度：0.5
相似題
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1．（1）如圖1，在平面直角坐標系中，將直角三角形的直角頂點放在點P（2，2）處，若A（0，2），則B的坐標為 ；
（2）將直角三角形繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，兩直角邊與坐標軸分別交于點AB，求OA+OB的值；
（3）將直角三角形繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖3，兩直角邊所在的直線與坐標軸交于A，B兩點，探究OB與OA的數(shù)量關(guān)系．
發(fā)布：2025/6/9 5:0:1組卷：40引用：1難度：0.2 -
2．閱讀下面的材料，并解決問題：
（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別是3、4、5，求∠APB的度數(shù)．由于PA、PB、PC不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP≌．這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求出∠APB的度數(shù)；（求∠APB的度數(shù)）
（2）請你利用第（1）題解答的思想方法，解答下面的問題：如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2．發(fā)布：2025/6/9 5:30:2組卷：189引用：2難度：0.2 -
3．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于點E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD，CD．
（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系是：；數(shù)量關(guān)系是：；
（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系為：；
②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/9 6:30:1組卷：724引用：2難度：0.3
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