當前位置：
試題詳情
已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓Ω，它的離心率為12，一個焦點和拋物線y2=-4x的焦點重合，過直線l：x=4上一點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的點（x0，y0）處的橢圓的切線方程是x0xa2+y0yb2=1．求證：直線AB恒過定點C；并求出定點C的坐標．
1
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程．
【答案】（Ⅰ）+=1．
（Ⅱ）C（1，0）．
證明：設切點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），
直線l上一點M的坐標（4，t）．
則切線方程分別為=1，=1．
又兩切線均過點M，
即=1，=1，
即點A，B的坐標都適合方程x+y=1，而兩點之間確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是x+y=1，顯然對任意實數t，點（1，0）都適合這個方程，
故直線AB恒過定點C（1，0）．
x
2
4
y
2
3
（Ⅱ）C（1，0）．
證明：設切點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），
直線l上一點M的坐標（4，t）．
則切線方程分別為
x
1
x
4
+
y
1
y
3
x
2
x
4
+
y
2
y
3
又兩切線均過點M，
即
x
1
+
t
3
y
1
x
2
+
t
3
y
2
即點A，B的坐標都適合方程x+
t
3
故直線AB的方程是x+
t
3
故直線AB恒過定點C（1，0）．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/11/7 8:0:2組卷：83引用：1難度：0.1
相似題
-
1．點P在以F1，F2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7