已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），且點(diǎn)M（-3，12）在橢圓上．斜率為k的直線(xiàn)l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l的縱截距不為零時(shí)，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k,使得|PQ|2+2OP?OQ為定值？若存在，求出此時(shí)△OPQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
F
（
3
，
0
）
M
（
-
3
，
1
2
）
|
PQ
|
2
+
2
OP
?
OQ
【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問(wèn)題．
【答案】（1）+y2=1；
（2）存在k使得為定值，此時(shí)△OPQ的面積最大為1．
x
2
4
（2）存在k使得
|
PQ
|
2
+
2
OP
?
OQ
15
4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：68引用：1難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C：
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），且離心率為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）．63
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N（M，N與點(diǎn)A不重合）直線(xiàn)AM，AN的斜率之和為4，作AH⊥MN于H．
問(wèn)：是否存在定點(diǎn)P，使得|PH|為定值．若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PH|的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2024/11/16 2:0:1組卷：257引用：6難度：0.5 -
2．點(diǎn)
在橢圓C：M（2，1）上，且點(diǎn)M到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）．25
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€(xiàn)y=k（x+1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在x上是否存在點(diǎn)若P使得為定值？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．PA?PB發(fā)布：2024/10/21 13:0:2組卷：71引用：1難度：0.1 -
3．已知橢圓C：
的左頂點(diǎn)為A（-2，0），焦距為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）．動(dòng)圓D的圓心坐標(biāo)是（0，2），過(guò)點(diǎn)A作圓D的兩條切線(xiàn)分別交橢圓于M和N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)AM、AN的斜率分別為k1和k2．23
（1）求證：k1k2=1；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作OP⊥MN，垂足為P．是否存在定點(diǎn)Q，使得|PQ|為定值？發(fā)布：2024/10/18 2:0:2組卷：95引用：2難度：0.3