平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：x23-y26=1的右焦點為F，T為直線l：x=1上一點，過F作TF的垂線分別交C的左、右支于P，Q兩點，交l于點A．
（1）證明：直線OT平分線段PQ；
（2）若|PA|=3|QF|，求|TF|2的值．
x
2
3
-
y
2
6
【考點】雙曲線的幾何特征．
【答案】（1）證明：依題意，xF==3，即F（3，0），設T（1，2t），則直線PQ的方程為x=ty+3，
由
，得（2t2-1）y2+12ty+12=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則
，故t2≠，y1+y2=-，y1y2=，
∴x1+x2=t（y1+y2）+6=-，
又直線PQ分別交C的左、右支于P，Q兩點，
∴x1x2=（ty1+3）（ty2+3）=t2y1y2+3t（y1+y2）+9=-＜0，故t2＞，
∴PQ的中點為N（-，-），
∴kON=2t，kOT=2t，故O，T，N三點共線，即直線OT平分線段PQ；
（2）12+3．
3
+
6
由
x = ty + 3 |
2 x 2 - y 2 = 6 |
則
2 t 2 - 1 ≠ 0 |
Δ = 144 t 2 - 48 （ 2 t 2 - 1 ） ＞ 0 |
1
2
12
t
2
t
2
-
1
12
2
t
2
-
1
∴x1+x2=t（y1+y2）+6=-
6
2
t
2
-
1
又直線PQ分別交C的左、右支于P，Q兩點，
∴x1x2=（ty1+3）（ty2+3）=t2y1y2+3t（y1+y2）+9=-
9
+
6
t
2
2
t
2
-
1
1
2
∴PQ的中點為N（-
3
2
t
2
-
1
6
t
2
t
2
-
1
∴kON=2t，kOT=2t，故O，T，N三點共線，即直線OT平分線段PQ；
（2）12+3
7
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：362引用：2難度：0.2