綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以AD，CD為邊，在矩形ABCD外側(cè)作正方形ADEF和CDMN（點(diǎn)B，A，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)B，C，N在同一直線(xiàn)上）．連接FN，取FN的中點(diǎn)P，連接BP．
求證：BP⊥FN，BP=12FN．
解決問(wèn)題：
（1）請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題．
數(shù)學(xué)思考：
（2）受到老師所提問(wèn)題的啟發(fā)，“興趣小組”又提出了一個(gè)新問(wèn)題：如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形（∠DAB≠90°），其余條件保持不變，則老師所提問(wèn)題的結(jié)論是否保持不變？請(qǐng)你說(shuō)明理由．
（3）“智慧小組”所提的問(wèn)題是：如圖，四邊形ABCD是菱形，分別以AD，CD為邊，在菱形外側(cè)作正方形ADEF和CDMN．連接BD并延長(zhǎng)，交FN于點(diǎn)P．若∠DAB=30°，F(xiàn)N=6，求BD的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考該問(wèn)題，并直接寫(xiě)出結(jié)果．
?
BP
=
1
2
FN
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）不變；
（3）3-．
（2）不變；
（3）3-
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/27 8:0:9組卷：314引用：2難度：0.4
相似題
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1．[問(wèn)題提出]
正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
[問(wèn)題探究]
如圖①，△ABC是等邊三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距離PF、PE、PD分別為h1、h2、h3，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)是a,面積為S．過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin12∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°12
∴S△ABC=3S△AOB=3×AB×OM=3R2sin60°cos60°①12
∵S△ABC又可以表示為a（h1+h2+h3）②12
聯(lián)立①②得a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
[問(wèn)題解決]
如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的分析過(guò)程，探究h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
[性質(zhì)應(yīng)用]
（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h1+h2+h3+h4+h5+h6=．
（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h1+h2+hn-1+hn=．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：149引用：1難度：0.2 -
2．在五邊形ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，△ADE是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．CE與AD交于點(diǎn)G，將直線(xiàn)EC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AEF=∠DCE；
（2）判斷線(xiàn)段AB，AF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若FG=CG，且AB=2，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：328引用：2難度：0.2 -
3．綜合與探究
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且AE⊥BF，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）【類(lèi)比探究】
如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且AE⊥BF，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）【拓展延伸】
如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為BC中點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，若AB=3，BC=4，求BE的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/5/24 9:0:1組卷：760引用：4難度：0.1
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