在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（-1，4），與x軸交于點A（-3，0）和點B，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式及B，C兩點的坐標；
（2）點P為拋物線在第二象限上的動點，是否存在點P，使得四邊形ABCP的面積最大，若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2）過點D作DE⊥x軸交直線AC于點E，過拋物線上一動點M（不與點D重合）作MN∥DE交直線AC于點N，若以D、E、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標；
（4）如圖（3），F為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點Q，使得△AFQ為等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3，點B、C的坐標分別為：（1，0）、（0，3）；
（2）存在，點P的坐標為：（-，）；
（3）點N的坐標為：（-2，1）或（，）或（，）；
（4）存在，點Q的坐標為（2，-5）或（1，0）．
（2）存在，點P的坐標為：（-
3
2
15
4
（3）點N的坐標為：（-2，1）或（
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3
-
17
2
3
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2
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3
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2
3
-
17
2
（4）存在，點Q的坐標為（2，-5）或（1，0）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/16 21:0:1組卷：72引用：1難度：0.3
相似題
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1．拋物線y=ax2-4ax-12a（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），頂點為C．以點C為旋轉中心，將點B順時針旋轉90°得到點D．
（1）直接寫出點C的坐標為 ．（用含a的式子表示）
（2）試說明點A為位置不變的定點，并求出點A的坐標．
（3）當∠ABC=30°時，求點D的坐標．
（4）當點D在第三象限時，直接寫出a的取值范圍．發布：2025/5/26 4:0:1組卷：147引用：1難度：0.1 -
2．設拋物線y=ax2+bx+c經過A（-1，2），B（2，-1）兩點，且與y軸相交于點M．
（1）求b和c（用含a的代數式表示）；
（2）在拋物線y=ax2-bx+c-1上橫坐標與縱坐標相等的點的坐標；
（3）在第（2）小題所求出的點中，有一個點也在拋物線y=ax2+bx+c上，試判斷直線AM和x軸的位置關系，并說明理由．發布：2025/5/26 4:0:1組卷：186引用：4難度：0.1 -
3．如圖，已知二次函數y=ax2+bx的圖象經過點A（4，0），B（1，3），點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，過點B作直線BM⊥x軸，垂足為點M．
（1）求二次函數的表達式并直接寫出點C的坐標；
（2）點P是直線BM右側拋物線上一點，若△ABP的面積是6．
①直接寫出點P到直線AB的距離；
②求點P的坐標；
（3）點G在x軸上，點H在直線BM上，當以C，G，H為頂點的三角形是等腰直角三角形時，此時△CGH的面積是 ．
發布：2025/5/26 4:0:1組卷：54引用：1難度：0.3