已知f（x）=xlnx-ax²（a∈R）．
（1）若a=1，過點P（0，2）作曲線y=f（x）的切線l,求：切線l的方程；
（2）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個不同的極值點，求證：
x
3
1
?
x
2
＞
e
-
1
；
（3）a=-1時，f（x）＜x³對?x∈（1，+∞）恒成立，證明不等式
e
n
∑
i
=
1
i
+
1
i
2
＞
n
對任意的正整數n都成立．

【答案】（1）切線方程為（ln2-3）x-y+2=0；
（2）證明過程見解析；
（3）證明過程見解析．

【解答】

【點評】

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發布：2024/7/17 8:0:9組卷：86引用：2難度：0.4

相似題

1．已知函數f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導函數為f'（x）．
（1）當a=1時，求f'（x）的零點；
（2）若函數f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．
發布：2024/12/29 13:0:1組卷：279引用：8難度：0.4
解析
2．若函數
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有兩個極值點，則實數a的取值范圍為（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：124引用：4難度：0.5
解析
3．定義：設f'（x）是f（x）的導函數，f″（x）是函數f'（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖像的對稱中心，已知函數
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的對稱中心為（1，1），則下列說法中正確的有（　?。?/h2>
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函數f（x）既有極大值又有極小值
C．函數f（x）有三個零點
D．過
（
-
1
，
1
3
）
可以作兩條直線與y=f（x）圖像相切
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：183引用：7難度：0.5
解析

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