已知如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，M、N分別是BC、AB上的點．
（1）如圖①，若∠A=∠C=90°，∠B=∠MDN=60°．某同學在探究線段AN、MN、CM之間的數量關系時是這樣的思路：延長BA到P，使AP=CM，連接PD（圖1中虛線），通過研究圖中有關三角形全等，再利用全等三角形的性質結合題中條件進行轉化，從而得到結論．
這位同學在這個研究過程中：證明兩對三角形分別全等的依據是SAS，SASSAS，SAS，得出線段AN、MN、CM之間的數量關系的結論是MN=AN+CMMN=AN+CM．
（2）如圖②，若∠A+∠C=180°，其他條件不變，當AN、MN、CM之間滿足（1）中的數量關系時，設∠B=α°，請求出∠MDN的度數（用α含的代數式表示）；
（3）如圖③，我區某學校在慶祝“六一”兒童節的定向越野活動中，大本營指揮部設在點O處，甲同學在指揮部東北方向的E處，乙同學在指揮部南偏西75°的F處，且兩位同學到指揮部的距離相等．接到行動指令后，甲同學以100米/分鐘的速度向正西方向前進，乙同學以120米/分鐘的速度向北偏西60°方向前進．10分鐘后，指揮部監測到甲、乙兩同學分別到達G、H處，且么∠GOH=75°，求此時甲、乙兩同學之間的距離．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】SAS，SAS；MN=AN+CM
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/20 8:0:8組卷：468引用：2難度：0.1
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1．將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉α°到正方形AEFG．
（1）如圖1，當0°＜α＜90°時，EF與CD相交于點H．求證：DH=EH；
（2）如圖2，當0°＜α＜90°，點F、D、B正好共線時，
①求∠AFB度數；
②若正方形ABCD的邊長為1，求CH的長：
（3）連接DE，EC，FC．如圖3，正方形AEFG在旋轉過程中，是否存在實數m使AE2=DE2+mFC2-EC2總成立？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．
發布：2025/6/8 13:30:1組卷：67引用：1難度：0.2 -
2．定義：四邊形ABCD中，將對角線AC和BD的平方和，即AC2+BD2的值稱為四邊形ABCD的“特征數”．
（1）①在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，則菱形ABCD的“特征數”=；
②正方形EFGH的“特征數”等于16，則邊長=；
（2）平行四邊形ABCD中，AB=a,BC=b,試證明：平行四邊形ABCD的“特征數”為2a2+2b2；
（3）利用（2）的結論解決下列問題：
平行四邊形ABCD中，，BC=6，且AC?BD=60，AC＜BD，試求AC和BD的長度．AB=42
發布：2025/6/8 15:0:1組卷：373引用：3難度：0.2 -
3．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E在AD上，DE=3，點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著BC邊向終點C運動，連接PE，設點P運動的時間為t秒．
（1）過P作PF⊥AD，垂足為F，用含t的式子表示：EF=，PC=；
（2）當t=2時，判斷△PEC是否是直角三角形，并說明理由；
（3）當∠PEC=∠DEC時，求t的值．發布：2025/6/8 12:30:1組卷：43引用：3難度：0.4