已知圓C1：（x+1）2+y2=8，點(diǎn)C2（1，0），點(diǎn)Q在圓C1上運(yùn)動(dòng)，QC2的垂直平分線交QC1于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是曲線W上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第三象限，若OM+2ON=2OC1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線MN的斜率k；
（Ⅲ）過點(diǎn)S（0，-13）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線W于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)D，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
OM
+
2
ON
=
2
O
C
1
S
（
0
，-
1
3
）
【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)D（0，1），理由如下：
直線l的方程為y=kx-，聯(lián)立直線和橢圓方程，得
，∴9（1+2k2）x2-12kx-16=0，
由題意知，點(diǎn)S（0，-）在直線上，動(dòng)直線l交曲線W于A、B兩點(diǎn)，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，
則 ，
，
∵，
∴x1x2+（y1-m）（y2-m）=x1x2+y1y2-m（y1+y2）+m2
=（k2+1）x1x2-k（+m）（x1+x2）+m2++，
=-
==0．
∴
，∴m=1，
所以，在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）
3
14
14
（Ⅲ）在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)D（0，1），理由如下：
直線l的方程為y=kx-
1
3
y = kx - 1 3 |
x 2 2 + y 2 = 1 |
由題意知，點(diǎn)S（0，-
1
3
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
4
k
3
（
1
+
2
k
2
）
，
x
1
x
2
=
-
16
9
（
1
+
2
k
2
）
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，
則
DA
=
（
x
1
，
y
1
-
m
）
，
DB
=
（
x
2
，
y
2
-
m
）
DA
?
DB
=
x
1
x
2
+
（
y
1
-
m
）
（
y
2
-
m
）
=
0
∵
y
1
=
k
x
1
-
1
3
，
y
2
=
k
x
2
-
1
3
∴x1x2+（y1-m）（y2-m）=x1x2+y1y2-m（y1+y2）+m2
=（k2+1）x1x2-k（
1
3
2
3
m
1
9
（
k
2
-
1
）
x
1
x
2
-
k
（
1
3
-
m
）
（
x
1
-
x
2
）
-
m
2
+
2
3
m
+
1
9
=-
16
（
k
2
-
1
）
9
（
2
k
2
+
1
）
-
k
（
1
3
-
m
）
4
k
3
（
2
k
2
+
1
）
-
m
2
+
2
3
m
+
1
9
=
18
（
m
2
-
1
）
k
2
+
（
9
m
2
+
6
m
-
15
）
9
（
2
k
2
+
1
）
∴
m 2 - 1 = 0 |
9 m 2 + 6 m - 15 = 0 |
所以，在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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