動點P與點F（1，0）的距離和它到直線l：x=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C1．圓C2的圓心T是曲線C1上的動點，圓C2與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4．
（1）求曲線C1的方程；
（2）設點A（a,0）（a＞2），若點A到點T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C2的位置關系，并說明理由．
【答案】（1）y2=4x．
（2）相離，理由如下：
設點T的坐標為（x0，y0），圓C2的半徑為r，
∵點T是拋物線C1：y2=4x上的動點，
∴=4x0（x0≥0）．
∴
==．
∵a＞2，∴a-2＞0，則當x0=a-2時，|AT|取得最小值為，
依題意得=a-1，
兩邊平方得a2-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合題意，舍去）．
∴x0=a-2=3，=4x0=12，即．
∴圓C2的圓心T的坐標為（3，±2）．
∵圓C2與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴．
∴．
∵點T到直線l的距離，
∴直線l與圓C2相離．
（2）相離，理由如下：
設點T的坐標為（x0，y0），圓C2的半徑為r，
∵點T是拋物線C1：y2=4x上的動點，
∴
y
2
0
∴
|
AT
|
=
（
x
0
-
a
）
2
+
（
y
0
-
0
）
2
=
x
2
0
-
2
a
x
0
+
a
2
+
4
x
0
[
x
0
-
（
a
-
2
）
]
2
+
4
a
-
4
∵a＞2，∴a-2＞0，則當x0=a-2時，|AT|取得最小值為
2
a
-
1
依題意得
2
a
-
1
兩邊平方得a2-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合題意，舍去）．
∴x0=a-2=3，
y
2
0
y
0
=±
2
3
∴圓C2的圓心T的坐標為（3，±2
3
∵圓C2與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴
|
MN
|
=
2
r
2
-
x
2
0
=
4
∴
r
=
4
+
x
2
0
=
13
∵點T到直線l的距離
d
=
|
x
0
+
1
|
=
4
＞
13
∴直線l與圓C2相離．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：81引用：8難度：0.1
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