已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4，點M是橢圓C上一點，滿足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=433
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（0，2）分別作直線PA、PB交橢圓C于A、B兩點，設PA、PB的斜率分別是k1，k2，且k1+k2=4，求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．
x
2
a
2
y
2
b
2
S
△
F
1
M
F
2
4
3
3
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）k＞0或k＜-；
證明：設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=kx+m代入橢圓方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∵k1+k2=4，
∴，
∴m=k-2，
∴直線AB的方程為y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直線AB過定點（-1，-2）．
∵Δ=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）＞0，m=k-2，
∴k（7k+4）＞0，
∴k＞0或k＜-．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）k＞0或k＜-
4
7
證明：設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=kx+m代入橢圓方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-
4
km
2
k
2
+
1
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
∵k1+k2=4，
∴
k
x
1
+
m
-
2
x
1
+
k
x
2
+
m
-
2
x
2
=
4
∴m=k-2，
∴直線AB的方程為y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直線AB過定點（-1，-2）．
∵Δ=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）＞0，m=k-2，
∴k（7k+4）＞0，
∴k＞0或k＜-
4
7
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：206引用：6難度：0.1
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