已知雙曲線x2a2-y23=1（a＞0）的離心率e=2，拋物線C的準線經過其左焦點．
（1）求拋物線C的標準方程及其準線方程；
（2）若過拋物線C焦點F的直線l與該拋物線交于A，B兩個不同的點，求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切．
x
2
a
2
-
y
2
3
=
1
【考點】直線與雙曲線的綜合．
【答案】（1）拋物線的方程為y2=8x，準線為x=-2；
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+2，
代入拋物線方程可得y2-8my-16=0，
設A（，y1），B（，y2），
則y1+y2=8m，y1y2=-16，
可得AB的中點M的橫坐標為（+）
=（y1+y2）2-y1y2=4m2+2，
則M到準線的距離為4m2+4，
|AB|=+4=+4
=+4=8m2+8，
可得M到準線的距離為|AB|，
即以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切．
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+2，
代入拋物線方程可得y2-8my-16=0，
設A（
y
1
2
8
y
2
2
8
則y1+y2=8m，y1y2=-16，
可得AB的中點M的橫坐標為
1
16
y
2
1
y
2
2
=
1
16
1
8
則M到準線的距離為4m2+4，
|AB|=
y
1
2
+
y
2
2
8
（
y
1
+
y
2
）
2
-
2
y
1
y
2
8
=
64
m
2
+
32
8
可得M到準線的距離為
1
2
即以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：81引用：2難度：0.6
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