【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項式ax2+bx+c(a≠0)分解因式呢?我們已經知道:
(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.
反過來,就得到:a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
我們發現,二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的二次項的系數a分解成a1a2,常數項c分解成c1c2,并且把a1,a2,c1,c2,如圖1所示擺放,按對角線交叉相乘再相加,就得到a1c2+a2c1,如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b,那么ax2+bx+c就可以分解為(a1x+c1)(a2x+c2),其中a1,c1位于圖的上一行,a2,c2位于下一行.
像這種借助畫十字交叉圖分解系數,從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法,通常叫做“十字相乘法”.
例如,將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為:首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積,即1=1×1,把常數項-6也分解為兩個因數的積,即-6=2×(-3);然后把1,1,2,-3按圖2所示的擺放,按對角線交叉相乘再相加的方法,得到1×(-3)+1×2=-1,恰好等于一次項的系數-1,于是x2-x-6就可以分解為(x+2)(x-3).

請同學們認真觀察和思考,嘗試在圖3的虛線方框內填入適當的數,并用“十字相乘法”分解因式:x2+x-6=(x+3)(x-2)(x+3)(x-2).
【理解與應用】
請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式:
(1)2x2+5x-7=(x-1)(2x+7)(x-1)(2x+7);
(2)6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y)(2x-y)(3x-2y).
【探究與拓展】
對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x,y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解,如圖4.將a分解成mn乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規則,則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k),請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰下列問題:
(1)分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)(x+2y-1)(3x-y+4);
(2)若關于x,y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成兩個一次因式的積,求m的值.
【答案】(x+3)(x-2);(x-1)(2x+7);(2x-y)(3x-2y);(x+2y-1)(3x-y+4)
【解答】
【點評】
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發布:2024/9/13 5:0:8組卷:1038引用:3難度:0.5
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1.閱讀與思考:
整式乘法與因式分解是方向相反的變形
由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);
利用這個式子可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式,
例如:將式子x2+3x+2分解因式.
分析:這個式子的常數項2=1×2,一次項系數3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.
解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)
請仿照上面的方法,解答下列問題
(1)分解因式:x2+7x-18=
啟發應用
(2)利用因式分解法解方程:x2-6x+8=0;
(3)填空:若x2+px-8可分解為兩個一次因式的積,則整數p的所有可能值是 .發布:2025/6/23 14:0:1組卷:5095引用:9難度:0.5 -
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