如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OB=4，OC=8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．
（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+8；
（2）存在，點P的坐標為（1，8）或（1，）；
（3）點E、F的坐標分別為（，0）、（1，2）；最短路程為2；
（4）存在，點Q的坐標為（，）或（，）．
（2）存在，點P的坐標為（1，8）或（1，
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2
（3）點E、F的坐標分別為（
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（4）存在，點Q的坐標為（
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1727引用：5難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-
與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（1，0），且tan∠OAC=3．33
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點M為直線AC下方拋物線上一點，過點M作MD∥y軸交AC于點D，求MD+DC的最大值及此時點M的坐標；
（3）如圖2，連接BC，將△BOC繞著點A逆時針旋轉60°得到△B'O'C'，將拋物線y=ax2+bx-沿著射線CB方向平移，使得平移后的新拋物線經過O'，H是新拋物線對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點P，使以點B'，C'，H，P為頂點的四邊形是以B'C'為邊的菱形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．3
發布：2025/5/25 17:0:1組卷：435難度：0.2 -
2．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（-1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點（0，2）．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）點Q在以BC為直徑的圓上（點Q與點O，點B，點C均不重合），試探究QO，QB，QC的數量關系，并說明理由．
（3）E點為該圖象在第一象限內的一動點，過點E作直線BC的平行線，交x軸于點F．若點E從點C出發，沿著拋物線運動到點B，則點F經過的路程為 ．發布：2025/5/25 17:30:1組卷：290引用：1難度：0.2 -
3．如圖，已知二次函數y=-x2+bx+c經過A，B兩點，BC⊥x軸于點C，且點A（-1，0），C（2，0），AC=BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是拋物線AB之間的一個動點（不與A，B重合），求S△ABE的最大值以及此時E點的坐標；
（3）根據問題（2）的條件，判斷是否存在點E使得△ABE為直角三角形，如果存在，求出E點的坐標，如果不存在，說明理由．發布：2025/5/25 18:0:1組卷：390難度：0.3