定義：如果兩個二次函數(shù)的圖象的開口大小相同，方向相反且頂點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，則稱其中一個二次函數(shù)為另一個二次函數(shù)的美麗函數(shù)．如y=-（x+3）2+2與y=（x-3）2-2互為美麗函數(shù)．
（1）求y=-2x2+4x-1的美麗函數(shù)的表達式；
（2）若y1=x2+2x+c的圖象的頂點為P，且經(jīng)過它的美麗函數(shù)y2=-（x+h）2+k的圖象的頂點Q．
①求證：這兩個函數(shù)的圖象的交點為P，Q；
②點M是y1=x2+2x+c在P，Q之間的圖象的動點，MN⊥x軸交y2=-（x+h）2+k的圖象于點N，求MN長度的最大值．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=2x2+4x+1；
（2）①見解析，②2．
（2）①見解析，②2．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/5 2:0:8組卷：43引用：3難度：0.5
相似題
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1．綜合與探究：
如圖，拋物線y=-x2+x+6與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過B，C兩點．18
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達式．
（2）點D是直線l上方拋物線上一點，其橫坐標(biāo)為m,過點D作直線DE⊥x軸于點E，交直線l于點F．當(dāng)DF=2EF時，求點D的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/15 23:30:1組卷：1677引用：6難度：0.4 -
2．如圖所示，拋物線y=x2-2x-3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．
（1）求點C及頂點M的坐標(biāo)．
（2）若點N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時點N的坐標(biāo)．
（3）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/15 20:30:5組卷：511引用：3難度：0.1 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，-3），點P為直線BC下方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PBC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)，并求這個最大面積；
（3）試探究：是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．發(fā)布：2025/6/16 1:0:2組卷：224引用：2難度：0.4