數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的．
（1）【思想應用】已知m,n均為正實數、且m+n=2，求m2+1+n2+4的最小值．通過分析，小明想到了利用下面的構造解決此問題：如圖，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE，DE，設AE=m,BE=n.
①用含m的代數式表示CE=m2+1m2+1，用含n的代數式表示DE=n2+4n2+4；
②據此寫出m2+1+n2+4的最小值 1313；
（2）【類比應用】根據上述的方法，代數式x2+25+（x-16）2+49的最小值是 2020；
（3）【拓展應用】
①已知a,b,c為正數，且a+b+c=1，試運用構圖法，畫出圖形，并寫出a2+b2+b2+c2+c2+a2的最小值；
②若a,b為正數，寫出以a2+b2，4a2+b2，a2+4b2為邊的三角形的面積 32ab32ab．
m
2
+
1
n
2
+
4
m
2
+
1
m
2
+
1
n
2
+
4
n
2
+
4
m
2
+
1
n
2
+
4
13
13
x
2
+
25
（
x
-
16
）
2
+
49
a
2
+
b
2
b
2
+
c
2
c
2
+
a
2
a
2
+
b
2
4
a
2
+
b
2
a
2
+
4
b
2
3
2
3
2
【考點】三角形綜合題．
【答案】；；；20；ab
m
2
+
1
n
2
+
4
13
3
2
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/7/26 8:0:9組卷：567引用：2難度：0.2
相似題
-
1．如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點P是BA延長線上一動點，點O是線段AD上一動點，且OP=OC，下面的結論：
①AO+AP=AB；
②OP+OC的最小值為2AB；
③∠APO+∠PCB=90°；
④S△ABC=S四邊形AOCP．
其中正確的有幾個？（ ?。?/h2>發布：2025/5/30 12:0:2組卷：658引用：4難度：0.3 -
2．如圖1，在△ABC中，AB=AC，BC=2，點O為△ABC兩外角∠CBD，∠BCE的平分線的交點，連接OB，OC．
（1）求證OB=OC；
（2）如圖2，點M在線段BC上，點N為射線CE上一點，且滿足∠ABC=2∠MON．
①求△CMN的周長；
②如圖3，若∠A=30°，且點O'為∠ABC，∠ACB的平分線的交點，線段AC上是否存在一點G，使得△CGM與△CMN的周長相等？若存在，請直接寫出∠MO'G的度數；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/30 12:0:2組卷：167引用：5難度：0.3 -
3．已知△ABC和△DEF均為等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上．
（1）如圖1，若∠BAC=60°，點F與點C重合，求證：AD∥BC；
（2）如圖2，若AD=AB，求證：AF=AE+BC．
（3）若AB=5，在（2）的條件下，點E為AB的中點，P為BC所在直線上一動點，當|DP-EP|取得最大值時，請直接寫出BP的長．發布：2025/5/30 11:30:2組卷：299難度：0.4