△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．
（1）觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，
①AB與CF的位置關系為：AB∥CFAB∥CF．
②BC，CD，CF之間的數量關系為：CF+CD=BCCF+CD=BC；
（2）數學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．
（3）拓展延伸：如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，設AD與CF相交于點G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的長．
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【考點】四邊形綜合題．
【答案】AB∥CF；CF+CD=BC
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：432引用：4難度：0.1
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1．已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是邊BC上的動點，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，EF、AF與CD分別相交于點P、Q，連接EQ，過點A作AM⊥EQ，垂足為點M，過點P作PN⊥EQ，垂足為點N，設BE=m.
（1）求AM的長；
（2）用含有m的代數式表示CQ；
（3）用含有m的代數式表示PN，并求PN的最大值．發布：2025/5/23 19:30:1組卷：224難度：0.3 -
2．綜合與探究
問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點，用兩根小木棒構建角，將頂點放置于點D上，得到∠MDN，將∠MDN繞點D旋轉，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F兩點，如圖1所示．
（1）操作發現：如圖2，當E，F分別是AB，AC的中點時，試猜想線段DE與DF的數量關系是 ；
（2）類比探究：如圖3，當E，F不是AB，AC的中點，但滿足BE=AF時，求證△BED≌△AFD；
（3）拓展應用：如圖4，將兩根小木棒構建的角，放置于邊長為4的正方形紙板上，頂點和正方形對角線AC的中點O重合，射線OM，ON分別與DC，BC交于E，F兩點，且滿足DE=CF，請求出四邊形OFCE的面積．發布：2025/5/23 19:30:1組卷：247引用：5難度：0.4 -
3．新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．
問題探究：
（1）如圖1，等邊△ABC邊長為3，垂直于BC邊的等積垂分線段長度為 ；
（2）如圖2，在△ABC中，AB=8，，∠B=30°，求垂直于BC邊的等積垂分線段長度；BC=63
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6，AD=3，求出它的等積垂分線段長．
發布：2025/5/23 19:30:1組卷：398難度：0.2
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