已知直線l：y=x+2與雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）設雙曲線C的右頂點為A，右焦點為F，|BF|?|DF|=17，試判斷△ABD是否為直角三角形，并說明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）是；
由①、②知，C的方程為：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1?x2=-，
故不妨設x1≤-a，x2≥a，
==a-2x1，
=2x2-a，
|BF|?|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，
又|BF|?|FD|=17，
故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），
故|BD|===6，
連結MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切．
所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．∴△ABD為直角三角形．
（Ⅱ）是；
由①、②知，C的方程為：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1?x2=-
4
+
3
a
2
2
＜
0
故不妨設x1≤-a，x2≥a，
|
BF
|
=
（
x
1
-
2
a
）
2
+
y
2
1
（
x
1
-
2
a
）
2
+
3
x
2
1
-
3
a
2
|
FD
|
=
（
x
2
-
2
a
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
-
2
a
）
2
+
3
x
2
2
-
3
a
2
|BF|?|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，
又|BF|?|FD|=17，
故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=
-
9
5
故|BD|=
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
2
4
+
4
×
7
2
連結MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切．
所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．∴△ABD為直角三角形．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：119引用：4難度：0.1
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