已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率e=22．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A，B，與圓x2+y2=23相切于點M．
（i）證明：OA⊥OB（O為坐標原點）；
（ii）設λ=|AM||BM|，求實數λ的取值范圍．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
2
3
|
AM
|
|
BM
|
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）（i）∵直線l：y=kx+m與圓x2+y2=相切，
∴，即．…（5分）
由
，消去y并整理得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則．…（7分）
∵．
=
=
=，
∴OA⊥OB．
（ii）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）（i）∵直線l：y=kx+m與圓x2+y2=
2
3
∴
d
=
|
m
|
1
+
k
2
=
2
3
m
2
=
2
3
（
1
+
k
2
）
由
y = kx + m |
x 2 2 + y 2 = 1 |
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
∵
OA
?
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
=
（
1
+
k
2
）
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
（
1
+
k
2
）
?
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
+
km
（
-
4
km
1
+
2
k
2
）
+
m
2
=
3
m
2
-
2
k
2
-
2
1
+
2
k
2
=
2
（
1
+
k
2
）
-
2
k
2
-
2
1
+
2
k
2
=
0
∴OA⊥OB．
（ii）
1
2
≤
λ
≤
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1213引用：6難度：0.1
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