【問題提出】在由m×n（m×n＞1）個小正方形（邊長為1）組成的矩形網格中，該矩形的一條對角線所穿過的小正方形個數與m,n有何關系？
【問題探究】
為探究規律，我們采用一般問題特殊化的策略，通過分類討論，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決問題的方法．
探究一：
當m,n互質（m,n除1外無其他公因數）時，觀察圖1并完成下表：
| 矩形橫長m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 矩形縱長n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一條對角線所穿過的小正方形個數f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | x | … |
7
7
．結論：當m,n互質時，在m×n的矩形網格中，該矩形一條對角線所穿過的小正方形的個數f與m,n之間的關系式是
f=m+n-1
f=m+n-1
．探究二：當m,n不互質時，不妨設m=ka,n=kb（a,b,k為正整數，且a,b互質），觀察圖2并完成下表：
| a | 2 | 3 | 3 | 5 | 2 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | … |
| k | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一條對角線所穿過的小正方形個數f | 4 | 6 | 8 | y | 6 | z | … |
12
12
，z=9
9
．結論：當m,n不互質時，若m=ka,n=kb（a,b,k為正整數，且a,b互質）．在m×n的矩形網格中，該矩形一條對角線所穿過的小正方形的個數f與a,b,k之間的關系式是
f=k（a+b-1）
f=k（a+b-1）
．【模型應用】
一個由邊長為1的小正方形組的長為630，寬為490的矩形網格中，該矩形的一條對角線所穿過的小正方形的個數是
1050
1050
個．【模型拓展】
如圖3，在一個由48個棱長為1的小正方體組成的長方體中，經過頂點A，B的直接穿過的小正方體的個數是
6
6
個．
【考點】規律型：圖形的變化類；勾股定理．
【答案】7；f=m+n-1；12；9；f=k（a+b-1）；1050；6
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/25 19:30:2組卷：131引用：1難度：0.7
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