高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過(guò)程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．
在如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊磁撞，以12的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)7次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，?，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號(hào)球槽，則在前6次碰撞中有2次向右4次向左滾到第7層的第3個(gè)空隙處，再以12的概率向右滾下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滾到第7層的第4個(gè)空隙處，再以12的概率向左滾下．
（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率；
（2）小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行營(yíng)利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為ξ元．其中ξ=|20-5X|．
①求X的分布列；
②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺(jué)得小明同學(xué)能營(yíng)利嗎？
1
2
1
2
1
2
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；古典概型及其概率計(jì)算公式．
【答案】（1）．
（2）①X的分布列為：
②小明同學(xué)能盈利．
3
32
（2）①X的分布列為：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P | 1 64 |
3 32 |
15 64 |
5 16 |
15 64 |
3 32 |
1 64 |
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：33引用：2難度：0.5
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1．某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．
（Ⅰ）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；
（Ⅱ）從初賽得分在區(qū)間（110，150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間（110，130]與（130，150]各抽取多少人？
（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的7人中，選出3人參加全市座談交流，設(shè)X表示得分在區(qū)間（130，150]中參加全市座談交流的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：134引用：7難度：0.5 -
2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：
若離散型隨機(jī)變量Y=-3X+1，且E（X）=3，則（ ）X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：199引用：6難度：0.5 -
3．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用X表示所選3人中女生的人數(shù)，則E（X）為（ ）
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：139引用：6難度：0.7