定理：圖1，如果∠ADB=∠ACB，那么四邊形ABCD有外接圓，也叫做A，B，C，D四點共圓．（注：本定理不需要證明）
（1）圖2，△ABC中，AC=BC，點E，F分別在線段AC，BC上運動（不與端點重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圓的圓心，它到三角形三個頂點距離相等），試證明C，E，O，F四點共圓．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）
如果將問題2中的點C“分離”成兩個點，那么就有：
（2）圖3，在凸四邊形ABCD中，AD=BC，點E，F分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合），而且DE=BF，直線AC，BD相交于點P，直線EF，BD相交于點Q，直線EF，AC相交于點R．當點E，F分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合）時，探究△PQR的外接圓是否經過除點P外的另一個定點？如果是，請給出證明，并指出是哪個定點；如果不是，請說明理由．
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【解答】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：352引用：1難度：0.5
相似題
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1．綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續利用上述結論進行探究．
提出問題：
如圖1所示，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：
如圖2所示，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°（依據1）
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上
反思歸納：
（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？
依據1：；
依據2：．
（2）如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=42°，則∠4的度數為 ．
拓展探究：
（3）如圖4所示，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．求證：A，D，B，E四點共圓．發布：2024/7/21 8:0:9組卷：240引用：1難度：0.3 -
2．綜合與實踐：
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續利用上述結論進行探究．
提出問題：
如圖1所示，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：
如圖2所示，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°，（依據1）
∵∠B=∠D，
∴∠AEC+∠B=180°，
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上，（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上，（依據2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上；
反思歸納：
?（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？①圓內接四邊形對角互補；
②對角互補的四邊形四個頂點共圓；
③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；
④經過兩點的圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；
依據1：；（從框內選一個選項，直接填序號）
依據2：．（從框內選一個選項，直接填序號）
（2）如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠1=∠2=80°，∠3=42°，則∠4的度數為 ．
?發布：2024/9/21 14:0:9組卷：278引用：1難度：0.4 -
3．請仔細閱讀以下材料：
定理一：一般地，如圖1，四邊形ABCD中，如果連接兩條對角線后形成的∠BAC=∠BDC，則A，B，C，D四點共圓．我們由定理可以進一步得出結論：∠BDA=∠BCA，∠DBC=∠DAC，∠ACD=∠ABD．
定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
溫馨提示：下面問題的關鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請直接運用相關結論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．
探究問題：如圖2，在△ABC和△EFC中，AC=BC，EC=FC，∠ACB=∠ECF=90°，連接BF，AE交于點D，BF交AC于點H，連接CD．
（1）求證BF=AE；
（2）請直接寫出∠ADB=度，∠BDC=度；
（3）若∠DBC=15°，求證AH=2CD．發布：2024/8/6 8:0:9組卷：419引用：3難度：0.1