2008年第4屆“銳豐杯”初中數學邀請賽試卷

一、選擇題（共6小題，每小題6分，滿分36分）

• 1．如果當x=2時，不等式組

  x + 1 ≥ a

  x - a ＜ 0

  成立，那么實數a的取值范圍為（　　）

  A．a＜3

  B．a=3

  C．2＜a≤3

  D．a≥3
  組卷：84引用：1難度：0.9

  解析

• 2．下列圖形中，不是正方體表面展開圖的圖形的個數是（　　）
  

  A．1個

  B．2個

  C．3個

  D．4個
  組卷：141引用：18難度：0.9

  解析

• 3．如圖，線段AP⊥PB，而且AP=2，PB=12，點C₁，C₂在線段PB上，滿足PC₂=1.5，BC₁=6．設

  m

  =

  A

  C

  2

  3

  +

  C

  2

  B

  5

  ，

  n

  =

  A

  C

  1

  3

  +

  C

  1

  B

  5

  ，那么（　　）

  A．m＞n

  B．m=n

  C．m+n=5

  D．m＜n
  組卷：109引用：1難度：0.9

  解析

• 4．在代數式

  2

  x

  -

  3

  x

  +

  1

  中，分別令

  x

  =

  -

  2

  ，-

  3

  ，-

  2

  ，

  2

  -

  2

  ，

  3

  -

  2

  ，

  0

  ，那么相應的6個數值之和為（　　）

  A．12

  B．10

  C．8

  D．6
  組卷：63引用：1難度：0.7

  解析

• 5．仲元河邊人行道路上進行路面翻新，準備對地面密鋪正多邊形彩色地磚，如果在某一個頂點處使用了三種邊數互不相同 的地磚就能使得各邊完全吻合，能夠鋪滿地面．設正多邊形地磚的邊數分別為a,b,c,那么必有（　　）

  A． 1 a + 1 b + 1 c = 1	B． 1 a + 1 b = 2 c
  C． 1 a + 1 b = 1 c	D． 1 a + 1 b + 1 c = 1 2
  組卷：111引用：1難度：0.7

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三、解答題（共3小題，滿分60分）

• 14．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9），而且點C（m,m）、D（4-m,m）均在圖象上，其中m≠2．
  （1）求該二次函數的解析式以及實數m的值；
  （2）如果動點P位于拋物線上的弧AB與線段AB所圍成的區域（不包括邊界）內，自點P作與x軸垂直的直線l,l分別與直線AB、拋物線相交于點M、N（M在N的上方），試求線段MN長的最大值．
  組卷：77引用：1難度：0.5

  解析

• 15．定理：圖1，如果∠ADB=∠ACB，那么四邊形ABCD有外接圓，也叫做A，B，C，D四點共圓．（注：本定理不需要證明）
  （1）圖2，△ABC中，AC=BC，點E，F分別在線段AC，BC上運動（不與端點重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圓的圓心，它到三角形三個頂點距離相等），試證明C，E，O，F四點共圓．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）
  
  如果將問題2中的點C“分離”成兩個點，那么就有：
  （2）圖3，在凸四邊形ABCD中，AD=BC，點E，F分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合），而且DE=BF，直線AC，BD相交于點P，直線EF，BD相交于點Q，直線EF，AC相交于點R．當點E，F分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合）時，探究△PQR的外接圓是否經過除點P外的另一個定點？如果是，請給出證明，并指出是哪個定點；如果不是，請說明理由．
  組卷：352引用：1難度：0.5

  解析