旋轉變換在平面幾何中有著廣泛的應用.特別是在解(證)有關等腰三角形、正三角形、正方形等問題時,更是經常用到的思維方法,請你用旋轉交換等知識,解決下面的問題.
如圖1,△ABC與△DCE均為等腰直角三角形,DC與AB交于點M,CE與AB交于點N.
(1)以點C為中心,將△ACM逆時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A′CM′
(2)在(1)的基礎上,證明AM2+BN2=MN2.
(3)如圖2,在四邊形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,AC平分∠BCD,若BC=4,CD=3,則對角線AC的長度為多少?(直接寫出結果即可,但在圖中保留解決問題的過程中所作輔助線、標記的有關計算數據等)

【考點】幾何變換綜合題.
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布:2024/6/27 10:35:59組卷:1123引用:6難度:0.5
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1.綜合與實踐
“手拉手”模型是初中幾何圖形的一種全等變形的重要模型,可以借助旋轉和全等形的相關知識結合勾股定理等,來解決有關線段的長、角的度數等問題,在學習和生活中應用廣泛,有著十分重要的地位和作用.
某校數學活動小組進行了有關旋轉的系列探究:
如圖①,已知△ABC和△ADE均是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,且AB=AC,AD=AE,易證:BD=CE,BD⊥CE.
深入探究:
(1)如圖②,將圖①中△ABC繞點A逆時針旋轉α(0°<α<90°),連接BD、CE,并延長CE分別與AB、BD相交于點G、F,求證:BD=CE,BD⊥CE.
解決問題:
(2)如圖③,將圖①中△ABC繞點A逆時針旋轉90°,使AE與AB重合,其他條件不變,若AB=6,AD=3,則CE=,DF=.
拓展應用:
(3)如圖④,將圖①中△ABC繞點A逆時針旋轉α(90°<α<180°),連接BD、CE,若AB=4,BE=3,∠ABE=45°,則BD=,AD=.2
(提示:求AD時,可過點E作EH⊥AB于點H)發布:2025/5/25 7:30:1組卷:887引用:2難度:0.2 -
2.如圖,已知△ABC和△ADE均為等腰三角形,AC=BC,DE=AE,將這兩個三角形放置在一起.
(1)問題發現:
如圖①,當∠ACB=∠AED=60°時,點B、D、E在同一直線上,連接CE,則線段BD、CE之間的數量關系是,∠CEB=°;
(2)拓展探究:
如圖②,當∠ACB=∠AED=α時,點B、D、E不在同一直線上,連接CE,求出線段BD、CE之間的數量關系及BD、CE所在直線相交所成的銳角的大小(都用含α的式子表示),并說明理由;
(3)解決問題:
如圖③,∠ACB=∠AED=90°,AC=,AE=10,連接CE、BD,在△AED繞點A旋轉的過程中,當CE所在的直線垂直于AD時,請你直接寫出BD的長.2發布:2025/5/25 4:30:1組卷:1343引用:2難度:0.1 -
3.如圖1,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,D為△ABC內部的一動點(不在邊上),連接BD,將線段BD繞點D逆時針旋轉60°,使點B到達點F的位置;將線段AB繞點B順時針旋轉60°,使點A到達點E的位置,連接AD,CD,AE,AF,BF,EF.
(1)求證:△BDA≌△BFE;
(2)①CD+DF+FE的最小值為 ;
②當CD+DF+FE取得最小值時,求證:AD∥BF.
(3)如圖2,M,N,P分別是DF,AF,AE的中點,連接MP,NP,在點D運動的過程中,請判斷∠MPN的大小是否為定值.若是,求出其度數;若不是,請說明理由.發布:2025/5/25 8:0:2組卷:2338引用:3難度:0.5
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