如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx-2的圖象經過點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C，連接BC、AC．
（1）求二次函數的函數表達式；
（2）設二次函數的圖象的頂點為D，求直線BD的函數表達式以及sin∠CBD的值；
（3）若點M在線段AB上（不與A、B重合），點N在線段BC上（不與B、C重合），是否存在△CMN與△AOC相似，若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）二次函數的函數表達式為y=x2-x-2；
（2）直線BD的函數表達式為：；sin∠CBD=；
（3）存在△CMN與△AOC相似，點N的坐標為：或或．
2
3
4
3
（2）直線BD的函數表達式為：
y
=
4
3
x
-
4
6
13
65
（3）存在△CMN與△AOC相似，點N的坐標為：
（
15
7
，-
4
7
）
（
12
7
，-
6
7
）
（
3
4
，-
3
2
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1047引用：4難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=（x-a-1）（x+a-1）+a.
（1）當a=1時，求拋物線與x軸交點坐標；
（2）求拋物線的對稱軸，以及頂點縱坐標的最大值；
（3）拋物線上兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），當m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3時，若存在y1=y2，直接寫出m的取值范圍．發布：2025/5/22 10:30:1組卷：598引用：2難度：0.4 -
2．如圖，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的右側），與y軸交于點C，頂點為D．拋物線對稱軸與x軸交于點F，E是對稱軸上的一個動點．
（1）若CE∥BD，求sin∠DEC的值；
（2）若∠BCE=∠BDF，求點E的坐標；
（3）當取得最小值時，連接并延長AE交拋物線于點M，請直接寫出AM的長度．AE+55DE
??發布：2025/5/22 10:30:1組卷：512引用：1難度：0.3 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點A（，-3）和點B（33，0）．過點A作直線AC∥x軸，交y軸于點C．3
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應點P的坐標；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．13發布：2025/5/22 10:30:1組卷：1989引用：3難度：0.3