【問題背景】
學校數學興趣小組在專題學習中遇到一個幾何問題：如圖1，已知等邊△ABC，D是△ABC外一點，連接AD、CD、BD，若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長．
該小組在研究如圖2中△OMN≌△OPQ中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程．
解：如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE．
∵△ABC、△DCE是等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°．
∴∠BCA+∠ACD= ∠DCE∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，
∴CD=DE= 44．
【嘗試應用】
如圖4，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=2，BC=4，以AC為直角邊，A為直角頂點作等腰直角△ACD，求BD的長．
【拓展創新】
如圖5，在△ABC中，AB=4，AC=8，以BC為邊向外作等腰△BCD，BD=CD，∠BDC=120°，連接AD，求AD的最大值．
2
【考點】三角形綜合題．
【答案】∠DCE；△BCD≌△ACE（SAS）；4
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/3 8:0:9組卷：2615引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，△AOB中，OA=OB=6，將△AOB繞點O逆時針旋轉得到△COD．OC與AB交于點G，CD分別交OB、AB于點E、F．
（1）∠A與∠D的數量關系是：∠A ∠D；
（2）求證：△AOG≌△DOE；
（3）當A，O，D三點共線時，恰好OB⊥CD，求此時CD的長．發布：2025/5/25 10:0:1組卷：82引用：1難度：0.2 -
2．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，CE⊥AB于E，點F是CE上一點，連接AF并延長交BC于點D，CG⊥AD于點G，連接EG．
（1）求證：CD2=DG?DA；
（2）如圖1，若點D是BC中點，求證：CF=2EF；
（3）如圖2，若GC=2，GE=2，求證：點F是CE中點．2
發布：2025/5/25 11:0:2組卷：265引用：2難度：0.1 -
3．【閱讀理解】
截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系．
解題思路：延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，根據∠BAC+∠BDC=180°，可證∠ABD=∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關系．
根據上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數量關系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；
【知識應用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為 cm.發布：2025/5/25 9:0:1組卷：427引用：6難度：0.3