綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5．點D在Rt△ABC斜邊BC上運動，過點D作射線DP⊥DQ，分別與邊AB，AC交于點P，Q．
猜想證明：
（1）當點D在Rt△ABC斜邊BC的中點處時，
①如圖（1），在∠PDQ旋轉過程中，當點DP⊥AB時，DQ與BP的數量關系是 DQ=BPDQ=BP，DQDP=3434；
②當∠PDQ旋轉到如圖②所示的位置時，DQDP的值是否發生變化？若不變，請證明；若變化，請說明理由；
③如圖③，在∠PDQ旋轉過程中，當AP=AQ時，直接寫出線段AQ的長 25142514；
類比探究
（2）當點D在Rt△ABC斜邊BC上運動時，
①如圖④，當點D運動到BD：BC=2：5時，DQDP=9898；
②如圖⑤，連接PQ，當△DPQ是等腰三角形時，求BD的長．
DQ
DP
3
4
3
4
DQ
DP
25
14
25
14
DQ
DP
9
8
9
8
【考點】相似形綜合題．
【答案】DQ=BP；；；
3
4
25
14
9
8
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/5 8:0:8組卷：25引用：2難度：0.5
相似題
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1．如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．
①當t為何值時，DP⊥AC？
②設S△APQ+S△DCQ=y,寫出y與t之間的函數解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值．發布：2025/7/1 13:0:6組卷：2103引用：6難度：0.1 -
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點D是線段AB上的一點，連接CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下四個結論：①=AGAB；②若點D是AB的中點，則AF=AFFCAB；③當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若23=DBAD，則S△ABC=9S△BDF，其中正確的結論序號是（ ）12發布：2025/6/24 16:30:1組卷：2783引用：11難度：0.2 -
3．【探究發現】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F，當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；
【數學思考】某數學興趣小組在探究AE、EF的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，通過驗證得出如下結論：
當點E是直線BC上（B，C除外）任意一點時（其它條件不變），結論AE=EF仍然成立．
假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點E是線段BC延長線上的任意一點”；“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證明AE=EF．
【拓展應用】當點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結論求出S△ABC：S△AEF的值．
發布：2025/6/24 15:30:2組卷：1873引用：6難度：0.1